Immagine funzione di due vriabili

[Sk_Anonymous]

Determinare l'immagine della funzione $ f:V->RR $ con
$ V={(x,y) in RR^2 |x^2+4y^2=4}, f(x,y)=x+4y $
Non so da dove cominciare . Non conosco il procedimento per calcolare l'immagine e nemmeno quale sia il ragionamento da fare !! HO dato un occhiata su internet ma non riesco a trovare nulla !

[alle.fabbri]

Cerca il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange...

[Sk_Anonymous]

Allora $ f(x,y)=x+4y$ e $g(x,y)=x^2+4y^2-4$
il gradiente di $g(x,y)$ è: $nablag(x,y)=(2x,8y)$ che è nullo per $(x,y)=(0,0)
Per il teorema dei moltiplicatori di lagrange $EEλinRR$ tale che $ nablaf(x,y)=λ*g(x,y)$
$nablaf(x,y)=(1,4)$.
A questo punto devo risolvere il sistema
${(1 =λ*2x ),(4 =λ*8y),(x^2+4y^2=4):}$
ottengo $λ=+-sqrt5/4, x=+-2/(sqrt5), y=+-2/(sqrt5)$
E adesso cosa devo fare???

[legendre]

Una figura e' una ellisse e l'altra e' un piano

[alle.fabbri]

"raffaele.russo2":Allora $ f(x,y)=x+4y$ e $g(x,y)=x^2+4y^2-4$
il gradiente di $g(x,y)$ è: $\nabla g(x,y)=(2x,8y)$ che è nullo per $(x,y)=(0,0)$
Per il teorema dei moltiplicatori di lagrange $\EE \lambda \in \RR$ tale che $ \nabla f(x,y)= \lambda g(x,y)$
$\nabla f(x,y)=(1,4)$.
A questo punto devo risolvere il sistema
${(1 =\lambda 2x ),(4 =\lambda 8y),(x^2+4y^2=4):}$
ottengo $f=\pm \sqrt5/4, x=\pm 2/(\sqrt5), y=\pm 2/(\sqrt5)$
E adesso cosa devo fare???

Adesso sfrutti il teorema (di Wierstrass mi pare) che afferma che una funzione continua su un compatto assume tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo, in altre parole che [tex]R(f) = [f_{min},f_{max}][/tex].

[Sk_Anonymous]

Per cui una volta trovati i valori per $x$ e $y$ , si prende il più piccolo di $x$ e il più grande di $y$???