Immagine funzione di due variabili
Vorrei sapere se ho svolto bene il seguente esercizio.
Determinare $f(V)$
$ V={(x,y)inRR^2|x^2+y^2 leq 4} $ , $f(x,y)=x^2+2y^2-2x$
Prima di tutto determino il gradiente di $f$ e di $g$, dove $g(x,y)=x^2+y^2-4$
$ nablaf(x,y)=(2x-2,4y)$
$ nablag(x,y)=(2x,2y)$
Per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange $EEλinRR$ tale che $nablaf=lambda*nablag$
Per cui risolvo il sistema:
$\{(2x - 2 = 2xlambda),(4y = 2ylambda),(x^2 + y^2 = 4):}$ -> $\{(x(2-2lambda)=2),(y(4 - 2lambda)=0),(x^2 + y^2 = 4):}$ a questo punto risolviamo i 2 sistemi :
$\{(y = 0),(x^2 = 4->x= pm 2):}$ , $\{(lambda = 2),(2x-2lambdax = 2->x= -1):}$ da quest'ultimo otteniamo $y=pm sqrt3$
Per cui i punti trovati sono:
$(-1,-sqrt3),(-1,+sqrt3),(2,0),(-2,0)$
Troviamo max e min di f per poter determinare f(V)
Quindi sostituiamo i punti trovati all'equazione $f(x,y)=x^2+2y^2-2x$
$f(-2,0)=8$
$f(2,0)=0$
$f(-1,-sqrt3)=9$
$f(-1,+sqrt3)=9$
Per cui $ f(V)=[minf,maxf]=[0,9] $
Ma nella soluzione del testo $ f(V)=[-1,9]$
Dove sbaglio???
Determinare $f(V)$
$ V={(x,y)inRR^2|x^2+y^2 leq 4} $ , $f(x,y)=x^2+2y^2-2x$
Prima di tutto determino il gradiente di $f$ e di $g$, dove $g(x,y)=x^2+y^2-4$
$ nablaf(x,y)=(2x-2,4y)$
$ nablag(x,y)=(2x,2y)$
Per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange $EEλinRR$ tale che $nablaf=lambda*nablag$
Per cui risolvo il sistema:
$\{(2x - 2 = 2xlambda),(4y = 2ylambda),(x^2 + y^2 = 4):}$ -> $\{(x(2-2lambda)=2),(y(4 - 2lambda)=0),(x^2 + y^2 = 4):}$ a questo punto risolviamo i 2 sistemi :
$\{(y = 0),(x^2 = 4->x= pm 2):}$ , $\{(lambda = 2),(2x-2lambdax = 2->x= -1):}$ da quest'ultimo otteniamo $y=pm sqrt3$
Per cui i punti trovati sono:
$(-1,-sqrt3),(-1,+sqrt3),(2,0),(-2,0)$
Troviamo max e min di f per poter determinare f(V)
Quindi sostituiamo i punti trovati all'equazione $f(x,y)=x^2+2y^2-2x$
$f(-2,0)=8$
$f(2,0)=0$
$f(-1,-sqrt3)=9$
$f(-1,+sqrt3)=9$
Per cui $ f(V)=[minf,maxf]=[0,9] $
Ma nella soluzione del testo $ f(V)=[-1,9]$
Dove sbaglio???
Risposte
Ma i punti critici interni a [tex]$V$[/tex] li hai calcolati?
Guarda che [tex]$V$[/tex] non è costituito solo da una circonferenza, ma è tutto un cerchio...
Inoltre, generalmente, è inutile cominciare a fare un esercizio con queste tecniche se non si è certi che massimo e minimo esistano; quindi dovresti almeno giustificare perchè ciò accade prima di cominciare a far di conto.
Guarda che [tex]$V$[/tex] non è costituito solo da una circonferenza, ma è tutto un cerchio...
Inoltre, generalmente, è inutile cominciare a fare un esercizio con queste tecniche se non si è certi che massimo e minimo esistano; quindi dovresti almeno giustificare perchè ciò accade prima di cominciare a far di conto.
Innanzitutto ti ringrazio del consiglio che mi hai dato .
Per conoscere i punti critici $nablaf=0$ quindi in questo caso $nablaf=(2x-2,4y)=0->x=1,y=0$ da cui $f(1,0)=-1$ che risulta il minimo di f , è giusto???
Per conoscere i punti critici $nablaf=0$ quindi in questo caso $nablaf=(2x-2,4y)=0->x=1,y=0$ da cui $f(1,0)=-1$ che risulta il minimo di f , è giusto???
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