Immagine e codominio?

[a125]

Ciao a tutti, al liceo (Classico) la professoressa ci ha insegnato che ci sono differenze tra campo d'esistenza e dominio, e (specialmente) tra codominio e immagine. La mia professoressa di matematica all'università utilizza i termini codominio e immagine come se fossero sinonimi (anche il libro) ma io non capisco.. So che il codominio è l'insieme dei valori che la funzione può assumere, mentre l'immagine è un sottoinsieme del codominio e comprende i valori che la funzione assume.. No? Studiando sul libro ho un po' di confusione perché se codominio=immagine, non sarebbero suriettive tutte le funzioni?

[DavideGenova1]

Benvenuto!

"adr512":utilizza i termini codominio e immagine come se fossero sinonimi (anche il libro)

Mi sembra molto, molto strano, a meno che tu non abbia la sventura di avere un testo tremendamente informale e, oserei dire, pasticciato, evento che non direi comunque di probabilità nulla, purtroppo...
Il codominio è un insieme che contiene tutti gli elementi cui vengono associati dalla funzione gli elementi del dominio. Se si tratta di un codominio numerico, come $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ è perfettamente lecito chiamare valori questi elementi.
Il codominio deve contenere quindi necessariamente come sottoinsieme l'immagine della funzione (cfr. sotto), ma "può essere preso" più ampio a seconda di come si intende trattare la funzione in esame. Per esempio la funzione $f$ definita sul dominio $[a,b]\subset\mathbb{R}$ da $f(x)=x^2$ può essere intesa sia come $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sia come $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ perché un numero reale può sempre essere considerato un numero complesso, ma le due $f$ non sono "la stessa cosa", infatti possono essere considerate elementi di spazi vettoriali diversi, come ti accorgerai studiando analisi funzionale.

"adr512":l'immagine è un sottoinsieme del codominio e comprende i valori che la funzione assume.. No?

Tutti e soli i valori che funzione assume.

"adr512":Studiando sul libro ho un po' di confusione perché se codominio=immagine, non sarebbero suriettive tutte le funzioni?

Certo.

[axpgn]

@Davide

Sembra che la questione non sia così semplice ... ultimamente mi si sono "sgretolati" anni di certezze ...

Dai un'occhiata qui ... viewtopic.php?f=11&t=138001&p=877428&hilit=codominio#p877428

Per inciso, io la penso come te ...

Cordialmente, Alex

[gabriella127]

E' una semplice questione terminologica, basta mettersi d'accordo, alcuni chiamano 'codominio' l'immagine, ma per lo più ho sentito distinguere 'codominio' (l'insieme in cui la funzione può assumere valori, es. $R$), dall'immagine (l'insieme dei valori che la funzione assume). E' ovvio che bisogna fare una distinzione, come dice adr512, per parlare di funzioni suriettive.
Ma, insomma, sono solo convenzioni su cui mettersi d'accordo.

[axpgn]

"gabriella127":Ma, insomma, sono solo convenzioni su cui mettersi d'accordo.

Certamente, ma si DEVE essere d'accordo quando si "comunica" (anzi PRIMA) altrimenti è un gran casino ... se io intendo "mele" e tu "pere" non si va lontano ...

[DavideGenova1]

Interessante: ringrazio quanti hanno segnalato l'esistenza di convenzioni diverse. L'importante è che un testo definisca prima i termini che usa e che mantenga poi coerenza nell'uso (cosa che ho scoperto che non sempre accade, anche se mi auguro che i testi didattici in cui ciò non accade siano l' \(\varepsilon \text{%}\)).

[jitter1]

Concordo sull'importanza di essere rigorosi e di disporre di testi che non siano confusi da un punto di vista terminologico, ma non sono così convinta che il rischio di fraintendimento sia davvero così alto. Se il libro è in grado ti trasmettere bene il concetto, il lettore è in grado di passar sopra a una piccola disuniformità del testo, o a una differenza nelle convenzioni.

"DavideGenova":se codominio=immagine, non sarebbero suriettive tutte le funzioni?
Certo.

a rigor di linguaggio sì ma... non è la definizione di suriettività a dover essere adattata alla convenzione usata per il termine codominio, e quindi la domanda in quel caso non si porrebbe?

[axpgn]

Vero, ma se cambiando una definizione poi ne devi cambiare altre in cascata perché tutto torni allora il casino diventa esponenziale

[jitter1]

"axpgn":Vero, ma se cambiando una definizione poi ne devi cambiare altre in cascata perché tutto torni allora il casino diventa esponenziale

[ot]« All'ordine Facite Ammuina: tutti chilli che stanno a prora vann' a poppa
e chilli che stann' a poppa vann' a prora:
chilli che stann' a dritta vann' a sinistra
e chilli che stanno a sinistra vann' a dritta:
tutti chilli che stanno abbascio vann' ncoppa
e chilli che stanno ncoppa vann' bascio
passann' tutti p'o stesso pertuso:
chi nun tene nient' a ffà, s' aremeni a 'cca e a 'll à".
N.B.: da usare in occasione di visite a bordo delle Alte Autorità del Regno. »[/ot]

[DavideGenova1]

"jitter":Concordo sull'importanza di essere rigorosi e di disporre di testi che non siano confusi da un punto di vista terminologico, ma non sono così convinta che il rischio di fraintendimento sia davvero così alto. Se il libro è in grado ti trasmettere bene il concetto, il lettore è in grado di passar sopra a una piccola disuniformità del testo, o a una differenza nelle convenzioni.

Beh, se il concetto viene trasmesso efficacemente. Avevo in mente cose come definire punto limite come punto di accumulazione e poi usare il termine punto limite per il limite di una successione o addirittura per il limite di una sottosuccessione di una data successione, o definire separabile uno spazio topologico contenente un sottoinsieme ovunque denso e poi chiamare uno spazio topologico lineare separabile quando è di Hausdorff (e le due cose non si equivalgono), tutte cose che mi è capitato di trovare ultimamente.

[gabriella127]

"jitter":[quote="axpgn"]Vero, ma se cambiando una definizione poi ne devi cambiare altre in cascata perché tutto torni allora il casino diventa esponenziale

[ot]« All'ordine Facite Ammuina: tutti chilli che stanno a prora vann' a poppa
e chilli che stann' a poppa vann' a prora:
chilli che stann' a dritta vann' a sinistra
e chilli che stanno a sinistra vann' a dritta:
tutti chilli che stanno abbascio vann' ncoppa
e chilli che stanno ncoppa vann' bascio
passann' tutti p'o stesso pertuso:
chi nun tene nient' a ffà, s' aremeni a 'cca e a 'll à".
N.B.: da usare in occasione di visite a bordo delle Alte Autorità del Regno. »[/ot][/quote]


[ot]Questo, che io sappia, a Napoli è l'esercito di Franceschiello (Francesco II di Borbone), sinonimo di compagine scaciata e inefficiente. Quando il nemico si avvicinava a una nave dell'esercito l'ordine era 'Guaglio', facite ammuina', per impressionare il nemico, in mancanza di manovre più sensate.[/ot]