Immagine di una funzione senza studio

[grezzo23]

scusate, ho fatto la domanda qualche giorno fa ma proprio non riesco a capire. ci hanno dato degli esercizi che dicono determinare l'immagine di
1) f(x)3-x/2
2) f(x) 5x-3

ora io come dovrei fare a determinare l'immagine se non ho nulla? la prof usava una formula ma non mi ricordo, please help sono inguaiato

[Matlurker]

La formula sarebbe la funzione. Non è vero che non hai nulla. Hai 3 informazioni: la funzione, il dominio e il codominio che, nel caso di equazioni anche di quel tipo, sono impliciti (se non si specifica altrimenti).
Se leggo bene le funzioni:

[math]f(x)=3-x/2\\
f(x)= 5x-3[/math]

Dominio: R. Codominio: R. E immagine? Beh, l'Immagine è sempre: R.

Sapresti dire perché?

[grezzo23]

quando la funzione ha come dominio r l'immagine è sempre r? mettiamo che io abbia 1/2 e^5-4x come faccio a trovare l'immagine?

[Matlurker]

Se chiedi in generale, l'immagine si trova studiando la funzione. Non esiste una formuletta. Devi assimilare bene il concetto di Immagine di una funzione, altrimenti ti porterai appresso confusione. E il concetto di Immagine è davvero elementare. Dopo potrai chiederti come fai a calcolare l'immagine di una funzione.

Prendi una funzione f. Prendi due insiemi, X e Y. Ad ogni x appartenente ad X corrisponde uno (ed uno solo! se trovi 2 o più y, f non è più una funzione, ma solo una relazione) certo y che appartiene ad Y.

Tutti gli y che trovi formano l'Immagine di f(x).

Se questo non ti è chiaro, chiedi pure.

[grezzo23]

quindi scusa, mi hanno dato l'esercizio 1/1+4x, determinare dominio e determinare immagine.
non ho idea di cosa stiamo parlando

[Matlurker]

Tutte le rette hanno dominio R e Immagine R.

Ti faccio un esempio che forse chiarirà questo punto:

[math]f(x)=x^2[/math]

Tu puoi prendere tutti i valori di x che vuoi (che significa tutto R, sostanzialmente). La funzione prende gli x e ne fa il quadrato. Otterrai dunque y solo positivi. Tutt'al più 0, se prendi x=0. Quindi l'immagine di f sarà:

[math]Img(f): [0, + \infty)[/math]

o scritto altrimenti

[math]Img(f): \mathbb{R}^+ \cup {0}[/math]

[grezzo23]

ultima domanda scusami e se avessi avuto y=e^4-x^2 tutto -2 per trovare l'immagine non avrei dovuto isolarmi la x?

[Matlurker]

Non proprio. Concettualmente studi la funzione e stabilisci l'immagine, poi puoi procedere nell'esplicitare x, con i limiti imposti dallo studio precedente. La funzione:

[math]y=e^4-x^2[/math]

altro non è che una parabola con la concavità verso il basso. Ciò significa che ha un massimo, che sarebbe il vertice, di coordinate:

[math]V(0,e^4)[/math]

E quindi:

[math]Img(f): (-\infty,e^4][/math]

Se tu provassi ad esplicitare avresti:

[math]x^2=e^4-y \Longleftrightarrow x= \pm \sqrt{e^4-y}[/math]

E tu non sapresti proseguire, giustamente, per via di quel +/-: quale prendere?
Invece devi spezzare la parabola di partenza in due rami, una positiva e l'altra negativa, una per x>0 e l'altra per x