Immagine di una funzione multivariabile su un insieme
Salve a tutti, mi sto tormentando con un esercizio probabilmente banale 
Supponiamo di avere la funzione $f(x,y)=x^2-y^3$ e di volerne trovare l'immagine sull'insieme $T:={ (x,y) | |x|-1<=y<=1 }$
Disegnando $T$ sul piano esce un triangolo di vertici $(-2,1),(2,1),(0,-1)$
Ho osservato che , con l'allontanarsi di $x$ da 0 su R, la funzione aumenta, però allo stesso tempo aumenta con $y$ che si muove verso - infinito (ovvero andando verso il vertice $(0,-1)$)
Però poi non so come procedere dato che la funzione aumenta andando verso tutti i vertici... qualche suggerimento?
Supponiamo di avere la funzione $f(x,y)=x^2-y^3$ e di volerne trovare l'immagine sull'insieme $T:={ (x,y) | |x|-1<=y<=1 }$
Disegnando $T$ sul piano esce un triangolo di vertici $(-2,1),(2,1),(0,-1)$
Ho osservato che , con l'allontanarsi di $x$ da 0 su R, la funzione aumenta, però allo stesso tempo aumenta con $y$ che si muove verso - infinito (ovvero andando verso il vertice $(0,-1)$)
Però poi non so come procedere dato che la funzione aumenta andando verso tutti i vertici... qualche suggerimento?
Risposte
Ma se proprio sicuro di volerla disegnare? No, perché il modo più veloce di determinare l'immagine di $f$ (che sarà un intervallo) è quello di determinare massimi e minimi assoluti sull'insieme $T$ che è compatto. Visto che $f$ è continua sul compatto $T$ allora vale il teorema di Weierstrass e puoi concludere che $f(T)=[m,M]$ essendo $m,\ M$ rispettivamente il minimo e il massimo assoluti.
Giusto, però a questo punto come faccio a trovare $m$ ed $M$?; Devo parametrizzare l'intero triangolo? Non cè un modo più veloce?
No, altrimenti te lo avrei suggerito.
Grazie comunque!
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