Immagine di una funzione logaritmica
Ciao ragazzi, ho problemi nel trovare l'immagine di questa funzione.
$ log((x+2)/(x^2+4x+5)) $
Mi sono calcolato il Dominio e mi viene $ (-2;+oo) $
Ora ho provato a ricavarmi l'immagine tramite il metodo analitico cioè ho posto
$ log((x+2)/(x^2+4x+5))=y $
$ (x+2)/(x^2+4x+5)=e^y $
Ma poi mi sono bloccato perchè $ x=e^y(x^2+4x+5)-2 $ E non so come procedere.
Una mano sarebbe super-gradita, GRAZIE
$ log((x+2)/(x^2+4x+5)) $
Mi sono calcolato il Dominio e mi viene $ (-2;+oo) $
Ora ho provato a ricavarmi l'immagine tramite il metodo analitico cioè ho posto
$ log((x+2)/(x^2+4x+5))=y $
$ (x+2)/(x^2+4x+5)=e^y $
Ma poi mi sono bloccato perchè $ x=e^y(x^2+4x+5)-2 $ E non so come procedere.
Una mano sarebbe super-gradita, GRAZIE
Risposte
Beh, rispetto ad $x$ quella è un’equazione di secondo grado, quindi…
Ad ogni modo, quel metodo lì è più utile per determinare esplicitamente (nel caso esista) la funzione inversa.
Per determinare l’immagine puoi pensare di usare i teoremi sulle funzioni continue e le tecniche del Calcolo Differenziale.
Ad ogni modo, quel metodo lì è più utile per determinare esplicitamente (nel caso esista) la funzione inversa.
Per determinare l’immagine puoi pensare di usare i teoremi sulle funzioni continue e le tecniche del Calcolo Differenziale.
Grazie per la risposta gugo.
Purtroppo non riesco a ricordare un teorema adatto in questo caso. Ho provato anche a fare il limite agli estremi del dominio ma non mi torna.
Il risultato comunque dovrebbe essere $ (-oo;log(2)) $
Purtroppo non riesco a ricordare un teorema adatto in questo caso. Ho provato anche a fare il limite agli estremi del dominio ma non mi torna.
Il risultato comunque dovrebbe essere $ (-oo;log(2)) $
Massimi e minimi? Asintoti?
"axpgn":
Massimi e minimi? Asintoti?
Teorema dei valori intermedi?
Teorema di Weierstrass?
Di teoremi sulle immagini delle funzioni è pieno il testo di Analisi.
"Sergio":
… perché i limiti agli estremi del dominio non bastano, …
Uno sì
Ciao imFrancesco,
Il dominio $D = (−2;+\infty) $ della funzione $f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5))$ che hai trovato è corretto, il risultato che hai riportato per il codominio invece no, infatti si trova $C = (-\infty, - log(2)]$. Notato poi che $f(0) = log(2/5) < 0 $, ti suggerirei anche un bello studio del segno della funzione $f(x) $ proposta, dal quale non dovresti avere problemi a scoprire che $f(x) < 0 \quad \AA x \in D $ e quindi per il codominio si verificherà certamente che $C \subset (-\infty, 0) $.
Incidentalmente poi osserverei anche che si ha:
$f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5)) < log((x+2)/(x^2+4x+4)) = log((x+2)/(x + 2)^2) = - log(x + 2) \implies $
$\implies f(0) = log(2/5) < - log(2) $
Infine con lo studio del segno della derivata $f'(x) $ (facile) dovresti riuscire a risolvere tutti i tuoi problemi...
"imFrancesco":
ho problemi nel trovare l'immagine di questa funzione.
$ log((x+2)/(x^2+4x+5)) $
Mi sono calcolato il Dominio e mi viene $(−2;+\infty) $
Il dominio $D = (−2;+\infty) $ della funzione $f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5))$ che hai trovato è corretto, il risultato che hai riportato per il codominio invece no, infatti si trova $C = (-\infty, - log(2)]$. Notato poi che $f(0) = log(2/5) < 0 $, ti suggerirei anche un bello studio del segno della funzione $f(x) $ proposta, dal quale non dovresti avere problemi a scoprire che $f(x) < 0 \quad \AA x \in D $ e quindi per il codominio si verificherà certamente che $C \subset (-\infty, 0) $.
Incidentalmente poi osserverei anche che si ha:
$f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5)) < log((x+2)/(x^2+4x+4)) = log((x+2)/(x + 2)^2) = - log(x + 2) \implies $
$\implies f(0) = log(2/5) < - log(2) $
Infine con lo studio del segno della derivata $f'(x) $ (facile) dovresti riuscire a risolvere tutti i tuoi problemi...
"pilloeffe":
Ciao imFrancesco,
[quote="imFrancesco"]ho problemi nel trovare l'immagine di questa funzione.
$ log((x+2)/(x^2+4x+5)) $
Mi sono calcolato il Dominio e mi viene $(−2;+\infty) $
Il dominio $D = (−2;+\infty) $ della funzione $f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5))$ che hai trovato è corretto, il risultato che hai riportato per il codominio invece no, infatti si trova $C = (-\infty, - log(2)]$. Notato poi che $f(0) = log(2/5) < 0 $, ti suggerirei anche un bello studio del segno della funzione $f(x) $ proposta, dal quale non dovresti avere problemi a scoprire che $f(x) < 0 \quad \AA x \in D $ e quindi per il codominio si verificherà certamente che $C \subset (-\infty, 0) $.
Incidentalmente poi osserverei anche che si ha:
$f(x) = log((x+2)/(x^2+4x+5)) < log((x+2)/(x^2+4x+4)) = log((x+2)/(x + 2)^2) = - log(x + 2) \implies $
$\implies f(0) = log(2/5) < - log(2) $
Infine con lo studio del segno della derivata $f'(x) $ (facile) dovresti riuscire a risolvere tutti i tuoi problemi...
[/quote]Anche la derivata prima essendo $ -(x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5) $ è $ <0 $ ...
"imFrancesco":
Anche la derivata prima essendo $−(x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5))$ è $< 0 $...
Beh no:
$ −(x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5)) > 0 \implies (x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5)) < 0 $
Ora, siccome il denominatore è senz'altro positivo nel dominio $D = (-2, +\infty) $, basta vedere quando è negativo il numeratore, cosa che essendo $ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) $ si verifica per $ - 3 < x < - 1 $: ne consegue che la funzione $f(x) $ proposta è crescente in $(-2, - 1)$, ha un massimo nel punto $M(- 1, -log 2) $ e poi è decrescente in $ (-1, +\infty) $.
"pilloeffe":
[quote="imFrancesco"]Anche la derivata prima essendo $−(x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5))$ è $< 0 $...
Beh no:
$ −(x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5)) > 0 \implies (x^2+4x+3)/((x+2)(x^2+4x+5)) < 0 $
Ora, siccome il denominatore è senz'altro positivo nel dominio $D = (-2, +\infty) $, basta vedere quando è negativo il numeratore, cosa che essendo $ x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) $ si verifica per $ - 3 < x < - 1 $: ne consegue che la funzione $f(x) $ proposta è crescente in $(-2, - 1)$, ha un massimo nel punto $M(- 1, -log 2) $ e poi è decrescente in $ (-1, +\infty) $.[/quote]
Grazie pilloeffe!
Quindi che l'immagine fosse $ (-oo-,log2] $ potevamo anche dedurlo dallo studio della derivata prima e notando che c'è un massimo in $M(- 1, -log 2) $ ?
"imFrancesco":
Grazie pilloeffe!
Prego!
"imFrancesco":
Quindi che l'immagine fosse $(−\infty,- log2]$ potevamo anche dedurlo dallo studio della derivata prima e notando che c'è un massimo in $M(−1,−log2)$ ?
Credo che questi esercizi siano un modo come un altro per farti studiare la funzione $f(x) $ proposta...
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