Immagine di una funzione e moltiplicatori di lagrange

leonsirio
Salve a tutti,
avrei un dubbio che riguarda come calcolare l'immagine di una funzione quando essa è soggetta a più vincoli in forma di disequazione

Ad esempio

$ A = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 : x_1^2+x_2^2 \leq (x_3-4)^2 , 0 \leq x_3 \leq 8\}$

$ f(x_1,x_2,x_3) = x_1 + x_2 + x_3 $

Ho capito se dovessi calcolare $ f(A) $ in questo caso visto che la funzione è soggetta ad un vincolo dovrei usare il teorema dei moltiplicatori di lagrange. Ma non capisco come fare dal momento che il vincolo in questo caso non è in forma di equazione
Qualcuno saprebbe come fare a capire come scegliere il vincolo (o in caso come manipolare l'insieme per far tornare le cose)
Il problema non è legato ai calcoli in se o a come applicare il teorema, ma piuttosto a come a lavorare con dei vincoli del genere

Grazie mille in anticipo

Risposte
Quinzio
Ma non ti servono a nulla i moltiplicatori di Lagrange.
Dovresti cercare di farti un'idea della forma che ha il dominio e da li impostare gli estremi per l'integrale.
Dopo un po' che fai questi esercizi queste forme tendono a ripetersi e ad essere sempre quelle.

leonsirio
Questo tipo di esercizi sono posti nella parte relativa ai moltiplicatori di Lagrange. Quindi ancora gli integrali non sono stati nominati.
Credo che se la funzione sia continua e se l'insieme sia chiuso, e limitato allora $ f(A) = [min(f),max(f)] $

Quinzio
"leonsirio":
Questo tipo di esercizi sono posti nella parte relativa ai moltiplicatori di Lagrange. Quindi ancora gli integrali non sono stati nominati.
Credo che se la funzione sia continua e se l'insieme sia chiuso, e limitato allora $ f(A) = [min(f),max(f)] $


Allora scusami ma non credo di aver capito cosa devi calcolare.
Che vuol dire poi questo ? $ f(A) = [min(f),max(f)] $

ingres
Sarebbe meglio essere più chiari sulle richieste dell'esercizio, ma se il testo richiedeva di trovare solo l'immagine di f allora ti confermo che poichè le disequazioni danno luogo ad un insieme A chiuso e limitato (compatto) con f continua, la funzione assumerà tutti i valori tra il min e il max di f con dominio in A.

Per trovare tali estremi conviene visualizzare, come suggerito da Quinzio, l'insieme A che rappresenta un (doppio) cono con centro in (0,0,4). La funzione può essere vista come un fascio di piani che interseca in diagonale il doppio cono, per cui gli estremi dovrebbero trovarsi nei cerchi di bordo inferiore e superiore (che gli estremi siano nei bordi può seguire da altre considerazioni sulla funzione in questione). Avremo per $x_3=0$ la seguente espressione di cui trovare gli estremi, usando il moltiplicatore di Lagrange:

$L=x_1+x_2+lambda*(x_1^2+x_2^2-16)$

Facendo il gradiente si trova facilmente:

$ x_1 = +-2*sqrt(2)$
$ x_2 = +-2*sqrt(2)$

Per $x_3 = 8$ la funzione L rimane la stessa a meno di una costante per cui i punti rimangono quelli sopra. In conclusione:

Punto di minimo $(-2sqrt(2), -2sqrt(2), 0)$ con $f_min=-4*sqrt(2)$
Punto di massimo $(2sqrt(2), 2sqrt(2), 8)$ con $f_max=4*sqrt(2)+8$

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