IMMAGINE DI UNA FUNZIONE

[LIGHTNING11]

Salve a tutti...sapreste darmi delle direttive precise supportate da un esempio su come calcolare l'immagine di una funzione?grazie!

[Luca.Lussardi]

Non esiste una regola precisa, bisogna farsi un'idea magari disegnando approssimativamente il grafico e poi dimostrare che effettivamente l'immagine è quella congetturata.

[Kashaman]

condivido. La domanda che hai posto è troppo generale e varia soprattutto da funzione a funzione e soprattutto dal tipo di funzione. (oserei dire anche che dev'essere noto anche dove la funzione è definita !)
Prendi ad esempio la funzione
esempio 1
$\phi : ZZ->ZZ$ definita ponendo $AA z in ZZ : f(z) = 2z$
ovviamente $Im\phi = {2z|z in ZZ}$ , al variare di $z$ tale funzione manda nei pari, in particolare , intuitivamente si ha questo
$1->2$
$2->4$
$3->6$
$4-> 8$ e così via...
allora chi è $Im\phi$?
in questo caso, $Im\phi$ coincide con un particolare sottoinsieme di $ZZ$, quello dei pari.
Quindi, si può dire che $Im\phi=2ZZ$
esempio 2
prendi ora $\gamma : RR-> RR$ definita ponendo $AA x in RR : f(x) = 1/x$
notiamo che $Dom\gamma = RR\\{0}$ e ci chiediamo chi è $Im\gamma$.
si può notare che $\gamma$ assume qualunque valore eccetto che $1$ e cioè lo zero.
Pertanto puoi concludere $Imf = RR\\{0}$

Saper individuare l'immagine è importante ( come il dominio) soprattutto se vuoi trovare una sua inversa.
Prendi l'esempio due , tale funzione non è invertibile, infatti non è biettiva per come è definita (Lo zero non ha controimmagine)
però se prendi $g : RR\\{0}->RR\\{0}$ , $g(x) =1/x$ per restrizione e corestrizione quella funzione ti diventa magicamente biettiva e quindi invertibile con inversa se stessa.

[lordb]

Aggiungo che se la funzione è continua e il dominio è compatto, si ha:

$Im(f)=[text {min}_A (f),text {max}_A (f)]$.

[gio73]

@ lightning; ciao e benvenuto sul forum, puoi cortesemente modificare il titolo in tutto minuscolo, grazie.