Immagine di una funzione.

[aleh2]

Ciao a tutti,

non riesco a risolvere un esercizio:

Sia $f(x,y) := x^2 -y $ e $ D={ (x,y) | x^2 + y^2 \le 1}$ Calcolare $f(D)$

Questo proprio non so da dove partire.
Grazie.

[gugo82]

Gli stumenti fondamentali per capire l'esercizio sono il "teorema dei valori intermedi" (l'immagine di un connesso mediante una funzione continua è un connesso), il teorema di Weierstrass (l'immagine di un compatto mediante una funzione continua è compatta), la caratterizzazione dei connessi in $RR$ (in $RR$ sono connessi tutti e soli gli intervalli) e la caratterizzazione dei compatti di $RR$ (in $RR$ sono compatti tutti e soli gli intervalli limitati e dotati di minimo e massimo).

Quelli per risolverlo sono gli strumenti classici del Calcolo Differenziale in una e in più variabili.

[aleh2]

Grazie per la risposta Gugo82,

le cose che dici sono giuste e non mi sono nuove. Purtroppo trovo difficoltà a risolverlo, secondo te dovrei trovare massimo e minimo?

[gugo82]

Certo...
Ma una volta che li hai trovati, che te ne fai?
(Qui entrano in gioco i teoremi.)

[aleh2]

Allora ci ho ragionato un pochino,

il dominio della funzione è la palla di centro l' origine e raggio 1 $D={(x,y)|x^2+y^2≤1}$
quindi ho pensato che se calcolassi la f nei punti di frontiera dell' insieme D, il minimo e il massimo formano l' immagine.