Immagine di un intervallo chiuso tramite funzione
Salve ragazzi... il mio esame di Analisi incombe, ma mi sono rimasti alcuni dubbi sparsi qua e la che non trovano risoluzione dopo ricerca sui libri,appunti o su internet.
Nella fattispecie ho trovato questa tipologia di esercizi in cui si richiede di
"Determinare l'immagine dell'intervallo $[a,b]$ attraverso la funzione $f(x)$"
un esempio è questo
intervallo $[0,1]$
$f(x) = tan log (1 + sqrt(x))$
Il problema è che non mi è ben chiara cosa sia l'immagine di un intervallo.
Sono i valori che assume la funzione sull'asse y in quel determinato intervallo? e quindi basta una banale sostituzione... o c'è dell'altro?
Ringrazio anticipatamente per le risposte
Nella fattispecie ho trovato questa tipologia di esercizi in cui si richiede di
"Determinare l'immagine dell'intervallo $[a,b]$ attraverso la funzione $f(x)$"
un esempio è questo
intervallo $[0,1]$
$f(x) = tan log (1 + sqrt(x))$
Il problema è che non mi è ben chiara cosa sia l'immagine di un intervallo.
Sono i valori che assume la funzione sull'asse y in quel determinato intervallo? e quindi basta una banale sostituzione... o c'è dell'altro?
Ringrazio anticipatamente per le risposte
Risposte
Benvenuto nel forum. Ho dato un'aggiustata alle formule.
Sì, sono tutti i valori che la funzione ti restituisce se valutata in ogni punto di [tex]$[0,1]$[/tex]
Lavorando sul tuo esempio, hai che il logaritmo è una funzione monotona: quindi i valori assunti sono esattamente quelli compresi tra
[tex]$\log 1$[/tex] e [tex]$\log 2$[/tex], cioè appunto [tex]$0$[/tex] e [tex]$\log 2$[/tex]
Quindi la tangente "riceve" valori che vanno da [tex]$0$[/tex] a [tex]$\log 2$[/tex].
Fortunatamente [tex]$\log 2$[/tex] è minore di [tex]$\pi/2$[/tex], quindi non hai problemi, visto che anche la tangente è monotona tra $0$ e [tex]$\pi/2$[/tex] e i valori assunti, in finale, sono tutti quelli tra
[tex]$\tan 0$[/tex] e [tex]$\tan \log 2$[/tex], cioè [tex]$0$[/tex] e [tex]$\tan \log 2$[/tex] (quest'ultimo sarà un certo numero reale del quale ti interessa poco).
Spero sia chiaro.
Ciao.
"Sgrull":
Il problema è che non mi è ben chiara cosa sia l'immagine di un intervallo.
Sono i valori che assume la funzione sull'asse y in quel determinato intervallo?
Sì, sono tutti i valori che la funzione ti restituisce se valutata in ogni punto di [tex]$[0,1]$[/tex]
Lavorando sul tuo esempio, hai che il logaritmo è una funzione monotona: quindi i valori assunti sono esattamente quelli compresi tra
[tex]$\log 1$[/tex] e [tex]$\log 2$[/tex], cioè appunto [tex]$0$[/tex] e [tex]$\log 2$[/tex]
Quindi la tangente "riceve" valori che vanno da [tex]$0$[/tex] a [tex]$\log 2$[/tex].
Fortunatamente [tex]$\log 2$[/tex] è minore di [tex]$\pi/2$[/tex], quindi non hai problemi, visto che anche la tangente è monotona tra $0$ e [tex]$\pi/2$[/tex] e i valori assunti, in finale, sono tutti quelli tra
[tex]$\tan 0$[/tex] e [tex]$\tan \log 2$[/tex], cioè [tex]$0$[/tex] e [tex]$\tan \log 2$[/tex] (quest'ultimo sarà un certo numero reale del quale ti interessa poco).
Spero sia chiaro.
Ciao.
Beh per una volta avevo ragionato bene 
Grazie per il chiarimento e per il benvenuto
Per curiosità... nel caso in cui il valore restituito dal $\log$ fosse stato $> \pi/2$ cosa sarebbe successo??
La funzione non sarebbe esistita in quel punto? Me ne sarei dovuto accorgere studiando il dominio della funzione?
Grazie per il chiarimento e per il benvenuto
Per curiosità... nel caso in cui il valore restituito dal $\log$ fosse stato $> \pi/2$ cosa sarebbe successo??
La funzione non sarebbe esistita in quel punto? Me ne sarei dovuto accorgere studiando il dominio della funzione?
Figurati.
Per il caso che dici tu, supponiamo ad esempio che il log avesse restituito $\frac{3\pi}{4}$ (cioè $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})$
Allora i valori da $0$ a $\frac{\pi}{2}$ (non incluso ovviamente, già calcolando il dominio all'inizio lo avresti escluso) ti fanno variare la tangente da $0$ a [tex]$+\infty$[/tex].
I valori da $frac{\pi}{2}$ (sempre escluso) a $frac{3\pi}{4}$ invece da [tex]$-\infty$[/tex] a [tex]$-\sqrt 2$[/tex].
Cioè l'immagine sarebbe stata [tex]$Im= (-\infty,-\sqrt 2) \cup (0, +\infty)$[/tex]
Ciao.
Per il caso che dici tu, supponiamo ad esempio che il log avesse restituito $\frac{3\pi}{4}$ (cioè $\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4})$
Allora i valori da $0$ a $\frac{\pi}{2}$ (non incluso ovviamente, già calcolando il dominio all'inizio lo avresti escluso) ti fanno variare la tangente da $0$ a [tex]$+\infty$[/tex].
I valori da $frac{\pi}{2}$ (sempre escluso) a $frac{3\pi}{4}$ invece da [tex]$-\infty$[/tex] a [tex]$-\sqrt 2$[/tex].
Cioè l'immagine sarebbe stata [tex]$Im= (-\infty,-\sqrt 2) \cup (0, +\infty)$[/tex]
Ciao.
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