Immagine di $e^z$
Trovare e disegnare l'immagine di $w=e^z$ della "semi-striscia" definita da
$x>=0$ e $(9pi)/5<=y<=2pi$.
E' possible che si tratti di due "strisce esponenziali"? Non penso proprio, comunque.
$x>=0$ e $(9pi)/5<=y<=2pi$.
E' possible che si tratti di due "strisce esponenziali"? Non penso proprio, comunque.
Risposte
Che intendi con due striscie esponenziali?
Ponendo $ z = a+ib $ si ha che $ a >=0$; $9*pi/5<=b<=2*pi$.
Adesso si tratta di vedere come $ z $ viene trasformato in $w= e^z$.
Sarà $e^z =e^(a+ib) =e^a*e^(ib) $.
Quindi per le ipotesi iniziali su $ a,b$ sarà : $e^a >=1$ e $ 9*pi/5<=b<=2*pi$ .
Se chiamo $w = rho *e^(itheta)$ sarà : $rho >=1 ; 9*pi/5<=theta<=2*pi$.
La semistriscia iniziale viene quindi trasformata nella regione di piano delimitata dalla crf di raggio $=1 $ , e dalle rette uscenti dall'origine , l'una l'asse delle ascisse e l'altra la retta che forma un angolo di $9*pi/5$ con l'asse stesso .
Un disegno chiarirebbe il tutto....
Adesso si tratta di vedere come $ z $ viene trasformato in $w= e^z$.
Sarà $e^z =e^(a+ib) =e^a*e^(ib) $.
Quindi per le ipotesi iniziali su $ a,b$ sarà : $e^a >=1$ e $ 9*pi/5<=b<=2*pi$ .
Se chiamo $w = rho *e^(itheta)$ sarà : $rho >=1 ; 9*pi/5<=theta<=2*pi$.
La semistriscia iniziale viene quindi trasformata nella regione di piano delimitata dalla crf di raggio $=1 $ , e dalle rette uscenti dall'origine , l'una l'asse delle ascisse e l'altra la retta che forma un angolo di $9*pi/5$ con l'asse stesso .
Un disegno chiarirebbe il tutto....
Il raggio della circonferenza $=1$ perche' $p>=1$? Mi sfugge questo passaggio..
Poichè $ a >=0 $ allora $rho= e^a >=1 $ .
Del grafico considera solo il quarto quadrante.
La regione trasformata è compresa tra :
*l'asse delle ascisse in verde( da $ +1 rarr +oo) $
* l'arco di crf (blu) di raggio 1 e centro l'origine dal punto $(1,0)$ fino all'incrocio con la retta nera .
*La semiretta nera dal punto di incrocio con la crf. in avanti
Del grafico considera solo il quarto quadrante.
La regione trasformata è compresa tra :
*l'asse delle ascisse in verde( da $ +1 rarr +oo) $
* l'arco di crf (blu) di raggio 1 e centro l'origine dal punto $(1,0)$ fino all'incrocio con la retta nera .
*La semiretta nera dal punto di incrocio con la crf. in avanti
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