Illuminatemi su questo limite

style246
$ lim_(x -> +oo) [(4x^4+x^5)^(1/5)-x]$

Il risultato è $4/5$. Ma non riesco a ricavarmelo.

Per $x->-oo$ cosa succede?

Grazie :D

Risposte
Gi81
Ti ricordo un limite notevole: $lim_(y->0) ((1+y)^alpha -1)/y=alpha$, con $alpha in RR$.
Quindi $lim_(y->0) (root5(1+y) -1)/y=1/5$
Devi ricondurti a questo limite notevole. Attento: questo limite è con $y->0$, mentre tu hai un limite con $x->+oo$. Come fare?
Suggerimento:

style246
Wow.. si trova!
Ho sbirciato nel suggerimento... però ho capito subito :-D .

$(4x^4+x^5)^(1/5) -> x(1+4/x)^(1/5)$

$4/x$ è la nostra "x" che tende a zero del limite notevole... perchè un numero su infinito fa zero. quindi:

$(x*([(1+4/x)^(1/5)-1])/(4/x))*(4/x)$ segue che $y=4/5$

Grazie!! :)

Gi81
Prego!
Ti faccio solo un piccolo appunto da persona pignola:
Penso che per un eccesso di entusiasmo :-D hai scritto
"style246":
.... segue che $y=4/5$

Invece piuttosto è "... segue che il limite è pari a $4/5$". Ok?
Comunque, bravo. Il ragionamento è correttissimo. Buona continuazione :D

style246
Hai perfettamente ragione... è pur sempre un limite :), quindi y in quel punto non è 4/5... ma la funzione +inf si avvicina a 4/5 senza mai raggiungerlo.

Gi81
Ok, benissimo :-D
Domanda: secondo te cosa succede a $-oo$?

style246
Il limite per il quale ho chiesto aiuto... è un limite per ricavarmi l'Asintoto Obliquo della funzione $(4x^4+x^5)^(1/5)$.

Di solito svolgo le funzioni senza aiutarmi con Derive, lo utilizzo solo per verificare se ho tracciato bene il grafico.. Notando il grafico, la funzione parte da -4, ovvero il dominio sembra essere $[-4,+oo)$. Io, però, al dominio mi trovo $(-oo,+oo)$. Non ho mai avuto problemi nel trovarmi il dominio, ma questa volta mi sa che qualche problema ce l'ho, cosa ho mancato?.

se considero $4x^4-x^5$, per qualsiasi x ho valori da $-oo$ a $+oo$, inoltre... trovandosi in una radice con indice dispari, la y è sempre verificata, perchè la radice con indice dispari di un numero negativo è possibile.

Dove sbaglio??

style246
Avevo un'impostazione sbagliata su Derive. Radici complesse era impostate su PRINCIPAL, ora l'ho impostato su REAL. Ora è tutto ok.

Comunque, quel limite assume lo stesso valore anche pre $-oo$. :)

Gi81
Esatto

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