Il teorema di Weierstrass (dimostrazione) aiuto..

smaug1
Sia $f(x)$ una funzione continua inun intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora $f$ assume massimo e minimo in $[a,b]$, cioè esistono $x_1$ e $x_2$ in $[a,b]$ tali che: $f(x_1) <= f(x) <= f(x_2)$ $\forall x \in$ $[a,b]$

Dimostrazione:

posto $M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$ verifichiamo che esiste una successione $x_n \in [a,b] : f(x_n) > n$ tale che

$\lim_{n->oo} f(x_n) = M$

infatti se $M = -oo$ per le proprietà dell'etremo superiore (??), $\forall n \in N$ esiste $x_n \in [a.b] $ tale che $f(x_n) > n$ e perciò $f(x_n) -> M = +oo$

Se risulta $M < + oo$ (domanda: cioè reale?) $\forall n \in N$ esiste $x_n in [a,b]$ tale che:

$M - 1/n < f(x_n)<= M$ e perciò $f(x_n)->M$

Per il teorema di bolzano-weirstrass esiste un'estratta $x_{nk}$ da $x_n$ ed un punto $x_0 \in [a,b]$ tale che:

$x_{nk} -> x_0$

Poichè $f$ è continua ne segue che $f(x_{nk}) -> f(x_0)$ e allora :

$M = \lim_{n->oo} f(x_n) = \lim_{k->oo} f(x_{nk})= f(x_0)$

Abbiamo dimostrato che$ f(x_0) = M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$

Ragazzi da quando viene posto il $Sup$ io non ho capito quasi nulla...siccome non mi piace imparare le cose a memoria vorrei capirlo bene questo teorema, che è molto importante, però mi date una mano? innanzitutto si parla di estremo superiore perchè si domastra che c'è un massimo, ma poi ogni implicazione che fa non mi è chiara...ringrazio tutti! :lol:

So che dovrei per il regolamento fare un tentativo, ma di cosa? :-D

Grazie! :P

P.S.: il libro è di marcellini-sbordone pag.165

Risposte
Seneca1
No, dai... E' un teorema intorno al quale, sul forum, sono stati postati una marea di chiarimenti.

Prova prima a fare una ricerca.

smaug1
"Seneca":
No, dai... E' un teorema intorno al quale, sul forum, sono stati postati una marea di chiarimenti.

Prova prima a fare una ricerca.


Quanto tempo seneca :lol: ...Il fatto è che gia avevo cercato...a me basterebbe leggere in modo divulgativo ciò che questi passaggi significano, io non è che non ne abbia capito nulla, ma in ogni passaggio ho dei dubbi sul perchè...

Seneca1
Prova a leggere i miei chiarimenti qui.

Saluti.

Seneca1
P.S.: Dovrebbe essere proprio la tua dimostrazione.

smaug1
"Seneca":
P.S.: Dovrebbe essere proprio la tua dimostrazione.


Sì è la stessa grazie seneca!! una cosa cosa significa in parole che $f(x_n) > n$, cioè intuitivamente che la funzione va a $+oo$ però quello che mi domando è: $n$ sta sull'asse delle ascisse mentre $f$ è una funzione, come si fa a dire che è maggiore, cosa significa? :wink:

grazie

Seneca1
"davidedesantis":

infatti se $M = -oo$ per le proprietà dell'etremo superiore (??), $\forall n \in N$ esiste $x_n \in [a.b] $ tale che $f(x_n) > n$ e perciò $f(x_n) -> M = +oo$


Qui immagino volessi scrivere $M = +oo$.

In questo caso, per definizione di insieme superiormente illimitato, $AA K > 0, EE y in { f(x) : x in [a,b] }$ tale che $y > K$ (*).

L'arbitrarietà di $K$ ti consente di prendere, $K = 1$, $K = 2$, ... , $K = n$. Per ognuno di questi $K$, dalla (*) segue che esistono $f(x_1), f(x_2) , ... , f(x_n)$ punti di ${ f(x) : x in [a,b] }$ per i quali vale la proprietà:

$f(x_i) > i$ , $AA i in NN$.

Per ognuno di questi $y_i = f(x_i)$ ( $( f(x_n) )_n$ è la successione definita induttivamente prima ), puoi scegliere (**) un punto $x_i$ che stia nella controimmagine di $y_i = f(x_i)$ (è evidente; i punti $f(x_i)$ sono immagini di punti di $[a,b]$ tramite $f$).

Quindi $EE (x_n)_n$ tale che $f(x_n) > n$, $AA n in NN$. Passando al limite, $lim_(n -> +oo) f(x_n) = +oo$ perché $f(x_n)$ è minorata dalla successione $a_n = n$ che diverge per $n -> +oo$.


(**): in questo passaggio si utilizza l'assioma della scelta; infatti $f^(-1)( f(x_i) )$ può contenere più di un punto dell'intervallo $[a,b]$... Per definire $x_n$ basta "pescare" un $bar x$ in questo insieme controimmagine.

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