Il teorema di Weierstrass (dimostrazione) aiuto..
Sia $f(x)$ una funzione continua inun intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. Allora $f$ assume massimo e minimo in $[a,b]$, cioè esistono $x_1$ e $x_2$ in $[a,b]$ tali che: $f(x_1) <= f(x) <= f(x_2)$ $\forall x \in$ $[a,b]$
Dimostrazione:
posto $M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$ verifichiamo che esiste una successione $x_n \in [a,b] : f(x_n) > n$ tale che
$\lim_{n->oo} f(x_n) = M$
infatti se $M = -oo$ per le proprietà dell'etremo superiore (??), $\forall n \in N$ esiste $x_n \in [a.b] $ tale che $f(x_n) > n$ e perciò $f(x_n) -> M = +oo$
Se risulta $M < + oo$ (domanda: cioè reale?) $\forall n \in N$ esiste $x_n in [a,b]$ tale che:
$M - 1/n < f(x_n)<= M$ e perciò $f(x_n)->M$
Per il teorema di bolzano-weirstrass esiste un'estratta $x_{nk}$ da $x_n$ ed un punto $x_0 \in [a,b]$ tale che:
$x_{nk} -> x_0$
Poichè $f$ è continua ne segue che $f(x_{nk}) -> f(x_0)$ e allora :
$M = \lim_{n->oo} f(x_n) = \lim_{k->oo} f(x_{nk})= f(x_0)$
Abbiamo dimostrato che$ f(x_0) = M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$
Ragazzi da quando viene posto il $Sup$ io non ho capito quasi nulla...siccome non mi piace imparare le cose a memoria vorrei capirlo bene questo teorema, che è molto importante, però mi date una mano? innanzitutto si parla di estremo superiore perchè si domastra che c'è un massimo, ma poi ogni implicazione che fa non mi è chiara...ringrazio tutti!
So che dovrei per il regolamento fare un tentativo, ma di cosa?
Grazie!
P.S.: il libro è di marcellini-sbordone pag.165
Dimostrazione:
posto $M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$ verifichiamo che esiste una successione $x_n \in [a,b] : f(x_n) > n$ tale che
$\lim_{n->oo} f(x_n) = M$
infatti se $M = -oo$ per le proprietà dell'etremo superiore (??), $\forall n \in N$ esiste $x_n \in [a.b] $ tale che $f(x_n) > n$ e perciò $f(x_n) -> M = +oo$
Se risulta $M < + oo$ (domanda: cioè reale?) $\forall n \in N$ esiste $x_n in [a,b]$ tale che:
$M - 1/n < f(x_n)<= M$ e perciò $f(x_n)->M$
Per il teorema di bolzano-weirstrass esiste un'estratta $x_{nk}$ da $x_n$ ed un punto $x_0 \in [a,b]$ tale che:
$x_{nk} -> x_0$
Poichè $f$ è continua ne segue che $f(x_{nk}) -> f(x_0)$ e allora :
$M = \lim_{n->oo} f(x_n) = \lim_{k->oo} f(x_{nk})= f(x_0)$
Abbiamo dimostrato che$ f(x_0) = M = Sup {f(x) : x \in [a,b]}$
Ragazzi da quando viene posto il $Sup$ io non ho capito quasi nulla...siccome non mi piace imparare le cose a memoria vorrei capirlo bene questo teorema, che è molto importante, però mi date una mano? innanzitutto si parla di estremo superiore perchè si domastra che c'è un massimo, ma poi ogni implicazione che fa non mi è chiara...ringrazio tutti!
So che dovrei per il regolamento fare un tentativo, ma di cosa?
Grazie!
P.S.: il libro è di marcellini-sbordone pag.165
Risposte
No, dai... E' un teorema intorno al quale, sul forum, sono stati postati una marea di chiarimenti.
Prova prima a fare una ricerca.
Prova prima a fare una ricerca.
"Seneca":
No, dai... E' un teorema intorno al quale, sul forum, sono stati postati una marea di chiarimenti.
Prova prima a fare una ricerca.
Quanto tempo seneca
...Il fatto è che gia avevo cercato...a me basterebbe leggere in modo divulgativo ciò che questi passaggi significano, io non è che non ne abbia capito nulla, ma in ogni passaggio ho dei dubbi sul perchè...
P.S.: Dovrebbe essere proprio la tua dimostrazione.
"Seneca":
P.S.: Dovrebbe essere proprio la tua dimostrazione.
Sì è la stessa grazie seneca!! una cosa cosa significa in parole che $f(x_n) > n$, cioè intuitivamente che la funzione va a $+oo$ però quello che mi domando è: $n$ sta sull'asse delle ascisse mentre $f$ è una funzione, come si fa a dire che è maggiore, cosa significa?
grazie
"davidedesantis":
infatti se $M = -oo$ per le proprietà dell'etremo superiore (??), $\forall n \in N$ esiste $x_n \in [a.b] $ tale che $f(x_n) > n$ e perciò $f(x_n) -> M = +oo$
Qui immagino volessi scrivere $M = +oo$.
In questo caso, per definizione di insieme superiormente illimitato, $AA K > 0, EE y in { f(x) : x in [a,b] }$ tale che $y > K$ (*).
L'arbitrarietà di $K$ ti consente di prendere, $K = 1$, $K = 2$, ... , $K = n$. Per ognuno di questi $K$, dalla (*) segue che esistono $f(x_1), f(x_2) , ... , f(x_n)$ punti di ${ f(x) : x in [a,b] }$ per i quali vale la proprietà:
$f(x_i) > i$ , $AA i in NN$.
Per ognuno di questi $y_i = f(x_i)$ ( $( f(x_n) )_n$ è la successione definita induttivamente prima ), puoi scegliere (**) un punto $x_i$ che stia nella controimmagine di $y_i = f(x_i)$ (è evidente; i punti $f(x_i)$ sono immagini di punti di $[a,b]$ tramite $f$).
Quindi $EE (x_n)_n$ tale che $f(x_n) > n$, $AA n in NN$. Passando al limite, $lim_(n -> +oo) f(x_n) = +oo$ perché $f(x_n)$ è minorata dalla successione $a_n = n$ che diverge per $n -> +oo$.
(**): in questo passaggio si utilizza l'assioma della scelta; infatti $f^(-1)( f(x_i) )$ può contenere più di un punto dell'intervallo $[a,b]$... Per definire $x_n$ basta "pescare" un $bar x$ in questo insieme controimmagine.
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