Il sup nella convergenza uniforme
Ciao a tutti,
come da titolo sto provando a fare esercizi sulla convergenza uniforme, ma ho problemi con il calcolo del $ text(sup)|f_n(x)-f(x)|$.
Se ho ben capito la prima cosa da fare è capire se $f_n(x)-f(x)$ è monotona e per fare ciò devo calcolarne la derivata prima:
se esistono dei valori di x tali che la derivata prima di $f_n(x)-f(x)$ si annulla allora vuol dire che non è monotona e sostituisco tali valori nella funzione e faccio il $lim_{n\to\+infty}(f_n(x)-f(x))$;
se invece la funzione è > 0 per ogni x allora è monotona crescente e l'estremo superiore è uguale a $\lim_{x \to \+infty}(f_n(x)-f(x))$ e il risultato di questo limite lo faccio tendere a n->+infinito per verificare la convergenza;
se invece la funzione è < 0 per ogni x si ha monotonia decrescente e il limite devo farlo tendere a x->-infinito.
Forse è meglio passare a un esempio concreto: $f_n(x)=sqrt(4x^2+1/n)$ che converge puntualmente in $2x text( su ) I=[0, +infty)$ (è corretto dire questo? O è meglio dire che converge in $2|x| text( su tutto )RR$? in ogni caso la funzione è simmetrica quindi posso lavorare solo con 2x).
Quindi calcolo la derivata di $f_n(x)=sqrt(4x^2+1/n)-2x$ che è uguale a $ (4x)/sqrt(4x^2+1/n)-2$ che mi dice che non esistono valori di x per la quale si annulla e che quindi è monotona.
E ora cosa devo fare? La pongo > 0? Poi non so comunque come procedere, la presenza dell'n mi lascia perplesso, devo vedere cosa fa al tendere di n a +infinito e -infinito?
Spero che qualcuno possa illuminarmi, grazie.
come da titolo sto provando a fare esercizi sulla convergenza uniforme, ma ho problemi con il calcolo del $ text(sup)|f_n(x)-f(x)|$.
Se ho ben capito la prima cosa da fare è capire se $f_n(x)-f(x)$ è monotona e per fare ciò devo calcolarne la derivata prima:
se esistono dei valori di x tali che la derivata prima di $f_n(x)-f(x)$ si annulla allora vuol dire che non è monotona e sostituisco tali valori nella funzione e faccio il $lim_{n\to\+infty}(f_n(x)-f(x))$;
se invece la funzione è > 0 per ogni x allora è monotona crescente e l'estremo superiore è uguale a $\lim_{x \to \+infty}(f_n(x)-f(x))$ e il risultato di questo limite lo faccio tendere a n->+infinito per verificare la convergenza;
se invece la funzione è < 0 per ogni x si ha monotonia decrescente e il limite devo farlo tendere a x->-infinito.
Forse è meglio passare a un esempio concreto: $f_n(x)=sqrt(4x^2+1/n)$ che converge puntualmente in $2x text( su ) I=[0, +infty)$ (è corretto dire questo? O è meglio dire che converge in $2|x| text( su tutto )RR$? in ogni caso la funzione è simmetrica quindi posso lavorare solo con 2x).
Quindi calcolo la derivata di $f_n(x)=sqrt(4x^2+1/n)-2x$ che è uguale a $ (4x)/sqrt(4x^2+1/n)-2$ che mi dice che non esistono valori di x per la quale si annulla e che quindi è monotona.
E ora cosa devo fare? La pongo > 0? Poi non so comunque come procedere, la presenza dell'n mi lascia perplesso, devo vedere cosa fa al tendere di n a +infinito e -infinito?
Spero che qualcuno possa illuminarmi, grazie.
Risposte
Posto $f(x) = 2|x|$, la funzione $f_n(x) - f(x)$ è sempre positiva e ha un massimo per $x=0$; di conseguenza
$"sup"_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) -f(x)| = f_n(0) - f(0) = 1/\sqrt{n}$,
quindi la convergenza è uniforme.
$"sup"_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) -f(x)| = f_n(0) - f(0) = 1/\sqrt{n}$,
quindi la convergenza è uniforme.
Innanzitutto, benvenuto tra noi 
Allora, io farei così: per prima cosa, trovi il limite puntuale che è $f(x)=2|x|$ per ogni $x in RR$ (per fare ciò basta pensare $x$ fissato e mandare $n to +oo$ nell'espressione di $f_n(x)$).
L'idea adesso è questa: comincia a studiare la convergenza uniforme per $x>=0$. Per fare ciò devi trovare il $"sup" |f_n(x)-f(x)|$ per $x in [0, +oo)$. E come si fa? Si abbozza uno studio di funzione, trattando $n$ come un semplice parametro (tra l'altro, in questo caso, non servono molti conti). Si nota che la funzione $f_n(x)-f(x)=sqrt(4x^2+1/n)-2x$ (vista come funzione di $x$, mi raccomando) è sempre positiva e infinitesima per $x to +oo$. Ancora, un rapido studio della derivata prima ci suggerisce che la funzione è sempre decrescente. Ottimo: allora, il valore massimo (il sup in questo caso è anche un massimo) è assunto in $x=0$. Pertanto, possiamo scrivere
$"sup"_(x in [0, +oo)) |f_n(x)-f(x)| = "sup"_(x in [0, +oo)) f_n(x)-f(x) = sqrt(1/n)$.
Adesso facciamo il test "cruciale": mandiamo $n to +oo$ nell'espressione del sup. Se il limite del sup viene 0 abbiamo convergenza uniforme, altrimenti non abbiamo convergenza uniforme. Per fortuna, $lim_(n to +oo) 1/sqrtn = 0$ quindi possiamo concludere che abbiamo convergenza uniforme su $[0, +oo)$.
Hai capito come si procede?
Spero sia un po' più chiaro. Lascio a te il piacere di concludere, pensando a cosa capita se $x<0$.
Se hai ancora bisogno, siamo qui.

Allora, io farei così: per prima cosa, trovi il limite puntuale che è $f(x)=2|x|$ per ogni $x in RR$ (per fare ciò basta pensare $x$ fissato e mandare $n to +oo$ nell'espressione di $f_n(x)$).
L'idea adesso è questa: comincia a studiare la convergenza uniforme per $x>=0$. Per fare ciò devi trovare il $"sup" |f_n(x)-f(x)|$ per $x in [0, +oo)$. E come si fa? Si abbozza uno studio di funzione, trattando $n$ come un semplice parametro (tra l'altro, in questo caso, non servono molti conti). Si nota che la funzione $f_n(x)-f(x)=sqrt(4x^2+1/n)-2x$ (vista come funzione di $x$, mi raccomando) è sempre positiva e infinitesima per $x to +oo$. Ancora, un rapido studio della derivata prima ci suggerisce che la funzione è sempre decrescente. Ottimo: allora, il valore massimo (il sup in questo caso è anche un massimo) è assunto in $x=0$. Pertanto, possiamo scrivere
$"sup"_(x in [0, +oo)) |f_n(x)-f(x)| = "sup"_(x in [0, +oo)) f_n(x)-f(x) = sqrt(1/n)$.
Adesso facciamo il test "cruciale": mandiamo $n to +oo$ nell'espressione del sup. Se il limite del sup viene 0 abbiamo convergenza uniforme, altrimenti non abbiamo convergenza uniforme. Per fortuna, $lim_(n to +oo) 1/sqrtn = 0$ quindi possiamo concludere che abbiamo convergenza uniforme su $[0, +oo)$.
Hai capito come si procede?
Spero sia un po' più chiaro. Lascio a te il piacere di concludere, pensando a cosa capita se $x<0$.
Se hai ancora bisogno, siamo qui.

@ Rigel: scusa, non avevo visto il tuo intervento (più breve ma assai più esaustivo del mio).

@Paolo90: per carità, va benissimo il tuo intervento (io in genere non ho la pazienza di scrivere i dettagli...)
Grazie ad entrambi per le risposte,
ma ancora non capisco una cosa: lo studio della derivata che permette di capire se è decrescente, abbiamo
$(4x)/sqrt(1/n+4x^2)-2 = (2(2x-sqrt(1/n+4x^2)))/(sqrt(1/n+4x^2))>0$
studio il segno
il denominatore $sqrt(1/n+4x^2)>0 text( sempre)$
il numeratore
$2>0 text( sempre)$
e
$2x-sqrt(1/n+4x^2)>0$
$1/n+4x^2<4x^2$
$1/n<0$
se la funzione è decrescente vuol dire che $1/n<0 text( mai)$ ma non capisco il perchè.
In ultimo per il caso $x<0$ faccio $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = -infty$, quindi converge uniformemente solo nell'intervallo $[0, +infty)$ giusto?
ma ancora non capisco una cosa: lo studio della derivata che permette di capire se è decrescente, abbiamo
$(4x)/sqrt(1/n+4x^2)-2 = (2(2x-sqrt(1/n+4x^2)))/(sqrt(1/n+4x^2))>0$
studio il segno
il denominatore $sqrt(1/n+4x^2)>0 text( sempre)$
il numeratore
$2>0 text( sempre)$
e
$2x-sqrt(1/n+4x^2)>0$
$1/n+4x^2<4x^2$
$1/n<0$
se la funzione è decrescente vuol dire che $1/n<0 text( mai)$ ma non capisco il perchè.
In ultimo per il caso $x<0$ faccio $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = -infty$, quindi converge uniformemente solo nell'intervallo $[0, +infty)$ giusto?
"k4ppa":
Grazie ad entrambi per le risposte, ma ancora non capisco una cosa: lo studio della derivata che permette di capire se è decrescente, abbiamo
$(4x)/sqrt(1/n+4x^2)-2 = (2(2x-sqrt(1/n+4x^2)))/(sqrt(1/n+4x^2))>0$
studio il segno
il denominatore $sqrt(1/n+4x^2)>0 text( sempre)$
il numeratore
$2>0 text( sempre)$
e
$2x-sqrt(1/n+4x^2)>0$
$1/n+4x^2<4x^2$
$1/n<0$
Quando $1/n<0$? Come giustamente scrivi tu dopo, $1/n$ non è mai negativo, quindi la tua disequazione non è mai verificata: segue che la derivata prima non è mai positiva, è sempre negativa, cioè la funzione è sempre decrescente. Ok?
In ultimo per il caso $x<0$ faccio $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = -infty$, quindi converge uniformemente solo nell'intervallo $[0, +infty)$ giusto?
No, rileggi il mio post sopra e ripercorri tutti i passaggi...

"Paolo90":
Quando $1/n<0$? Come giustamente scrivi tu dopo, $1/n$ non è mai negativo, quindi la tua disequazione non è mai verificata: segue che la derivata prima non è mai positiva, è sempre negativa, cioè la funzione è sempre decrescente. Ok?
Ma $1/n<0 text( per n<0)$
"k4ppa":
[quote="Paolo90"]In ultimo per il caso $x<0$ faccio $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = -infty$, quindi converge uniformemente solo nell'intervallo $[0, +infty)$ giusto?
No, rileggi il mio post sopra e ripercorri tutti i passaggi...

Ho sbagliato il limite $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = +infty$
"k4ppa":
[quote="Paolo90"]
Quando $1/n<0$? Come giustamente scrivi tu dopo, $1/n$ non è mai negativo, quindi la tua disequazione non è mai verificata: segue che la derivata prima non è mai positiva, è sempre negativa, cioè la funzione è sempre decrescente. Ok?
Ma $1/n<0 text( per n<0)$
[/quote]
Sì, ma può essere $n<0$? Dovresti sapere che $n in NN$ per definizione di successione...

"k4ppa":
Ho sbagliato il limite $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = +infty$
Non ci sei ancora. Che significa questo limite? Devi studiare la funzione, devi capire dove assume il massimo e quanto vale... insomma, come ti ho già detto, devi ripercorrere esattamente i passaggi che ho fatto sopra io.

"Paolo90":
[quote="k4ppa"][quote="Paolo90"]
Quando $1/n<0$? Come giustamente scrivi tu dopo, $1/n$ non è mai negativo, quindi la tua disequazione non è mai verificata: segue che la derivata prima non è mai positiva, è sempre negativa, cioè la funzione è sempre decrescente. Ok?
Ma $1/n<0 text( per n<0)$
[/quote]
Sì, ma può essere $n<0$? Dovresti sapere che $n in NN$ per definizione di successione...

Ok ora capisco, me ne ero completamente dimenticato.
"Paolo90":
[quote="k4ppa"]Ho sbagliato il limite $lim_{n\to\-infty}sqrt(4x^2+1/n)-2x = +infty$
Non ci sei ancora. Che significa questo limite? Devi studiare la funzione, devi capire dove assume il massimo e quanto vale... insomma, come ti ho già detto, devi ripercorrere esattamente i passaggi che ho fatto sopra io.

Se io faccio la derivata prima viene identica al caso $x>=0$ quindi la funzione è monotona decrescente anche per $x<0$
il $lim_{x\to\-infty}$ ci dice che il massimo è proprio $+infty$ quindi anche l'estremo superiore è $+infty$ e la funzione non converge.
EDIT nei due post precedenti ho sbagliato a scrivere il limite, volevo che $lim_{x\to\-infty}$ mentre ho scritto $lim_{n\to\-infty}$
No, hai sbagliato i conti. La derivata, nel caso $x<0$, è diversa dal caso $x>=0$: ti sei ricordato di cambiare il segno alla $x$ quando hai tolto il segno di modulo? Ricordati che $|x|=-x$ se $x<0$.

Quindi la funzione è crescente?
e per $x->0^-$ il limite è comunque uguale a $1/sqrt(n)$?
e per $x->0^-$ il limite è comunque uguale a $1/sqrt(n)$?
Mi fai vedere i conti, per piacere?
Non riesco a capire che cosa vuoi dire...
Un consiglio: cerca di essere ordinato, di impostare in maniera precisa e ordinata il lavoro. Altrimenti, rischi di perderti e gli altri non capiscono molto del tuo lavoro.
Il problema è questo: devi studiare "sommariamente" la funzione $|sqrt(4x^2+1/n)+2x|$ per $x<0$, con particolare attenzione a stabilire il valore del suo massimo.
Ok?
Non riesco a capire che cosa vuoi dire...
Un consiglio: cerca di essere ordinato, di impostare in maniera precisa e ordinata il lavoro. Altrimenti, rischi di perderti e gli altri non capiscono molto del tuo lavoro.
Il problema è questo: devi studiare "sommariamente" la funzione $|sqrt(4x^2+1/n)+2x|$ per $x<0$, con particolare attenzione a stabilire il valore del suo massimo.
Ok?
Ti ringrazio per il tempo che mi hai concesso, ma io getto la spugna, è troppo tempo che sono fossilizzato su questo esercizio e francamente sono un po' demoralizzato, inoltre ho altre materie da studiare, se hai voglia di scrivere la soluzione la leggerò attenzione.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
Dai, forza
Abbiamo già fatto tutto una volta (e anzi, non c'era una ragione precisa per spezzare l'esercizio in due pezzi, come puoi vedere Rigel l'ha svolto in maniera impeccabile in poche righe). Sono io che ho voluto "spezzare" l'esercizio, proprio per aiutarti a capire e lasciarti un pezzo da fare in autonomia. Devi ripercorrere passo passo quanto ho fatto io sopra, questa volta però con la funzione $sqrt(4x^2+1/n)+2x$. La devi studiare per $x<0$.
Un po' di conti e trovi che è infinitesima per $x to -oo$; non solo, ma è sempre crescente (perchè la derivata prima è sempre positiva); quindi il sup (nota che stavolta non è un massimo: perchè?) è assunto in $x=0$ e vale di nuovo $1/sqrt(n)$.
La conclusione è identica a quanto fatto sopra: pertanto, si può affermare che la successione data converge uniformemente su tutto $RR$ alla funzione $f(x)=2|x|$.
Più chiaro adesso?
Un consiglio (scusa se mi permetto): mai mollare, mai gettare la spugna. Prova fin che puoi, e se hai bisogno fai un fischio.
Buono studio

Abbiamo già fatto tutto una volta (e anzi, non c'era una ragione precisa per spezzare l'esercizio in due pezzi, come puoi vedere Rigel l'ha svolto in maniera impeccabile in poche righe). Sono io che ho voluto "spezzare" l'esercizio, proprio per aiutarti a capire e lasciarti un pezzo da fare in autonomia. Devi ripercorrere passo passo quanto ho fatto io sopra, questa volta però con la funzione $sqrt(4x^2+1/n)+2x$. La devi studiare per $x<0$.
Un po' di conti e trovi che è infinitesima per $x to -oo$; non solo, ma è sempre crescente (perchè la derivata prima è sempre positiva); quindi il sup (nota che stavolta non è un massimo: perchè?) è assunto in $x=0$ e vale di nuovo $1/sqrt(n)$.
La conclusione è identica a quanto fatto sopra: pertanto, si può affermare che la successione data converge uniformemente su tutto $RR$ alla funzione $f(x)=2|x|$.
Più chiaro adesso?
Un consiglio (scusa se mi permetto): mai mollare, mai gettare la spugna. Prova fin che puoi, e se hai bisogno fai un fischio.
Buono studio

Up! Dopo la pausa sono tornato su questi esercizi, ne scrivo un altro ditemi se sto facendo giusto
$f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$ che converge puntalmente in $0$ su tutto $RR$
Ora so che:
a) la funzione è dispari $(nx)/(1+n^2x^2)=-((-nx)/(1+n^2(-x^2)))$
b) $lim_{x\to\+infty}(nx)/(1+n^2x^2)=0$
c) $f^1_n(x)=(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2$ dove $n>0 text( )AAxtext(, ) (1+n^2x^2)^2>0 text( )AAxtext( e ) (1+n^2x^2)>0 text( quando ) -1/n
quindi l'estremo superiore è dato da $x=1/n$
di conseguenza $text(sup)|f_n(1/n)-0|=text(sup)|(n*1/n)/(1+n^2/n^2)|=1/2$ e la funzione non converge uniformemente
Spero che almeno fino a qua non ci siano errori.
Ora devo trovare per quale intervallo converge uniformemente, per farlo devo togliere un intorno: $[0, 1/n)uu(1/n, +infty)$
$text(sup)|f_n(1/n+\delta)|=text(sup)|(n*(1/n+\delta))/(1+n^2(1/n+\delta)^2)|=text(sup)|(1+n\delta)/(n^2\delta^2+2n\delta+2)| ->0 text( per ) n->+infty$ e quindi converge uniformemente
faccio la stessa cosa con $text(sup)|f_n(1/n-\delta)| ->0$
Quindi se è tutto giusto, cosa di cui dubito in realtà, converge uniformemente su $(-infty, -1/n)uu(-1/n, 1/n)uu(1/n, +infty)$
Paolo90 aiutami tu
$f_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2)$ che converge puntalmente in $0$ su tutto $RR$
Ora so che:
a) la funzione è dispari $(nx)/(1+n^2x^2)=-((-nx)/(1+n^2(-x^2)))$
b) $lim_{x\to\+infty}(nx)/(1+n^2x^2)=0$
c) $f^1_n(x)=(n(1-n^2x^2))/(1+n^2x^2)^2$ dove $n>0 text( )AAxtext(, ) (1+n^2x^2)^2>0 text( )AAxtext( e ) (1+n^2x^2)>0 text( quando ) -1/n
di conseguenza $text(sup)|f_n(1/n)-0|=text(sup)|(n*1/n)/(1+n^2/n^2)|=1/2$ e la funzione non converge uniformemente
Spero che almeno fino a qua non ci siano errori.
Ora devo trovare per quale intervallo converge uniformemente, per farlo devo togliere un intorno: $[0, 1/n)uu(1/n, +infty)$
$text(sup)|f_n(1/n+\delta)|=text(sup)|(n*(1/n+\delta))/(1+n^2(1/n+\delta)^2)|=text(sup)|(1+n\delta)/(n^2\delta^2+2n\delta+2)| ->0 text( per ) n->+infty$ e quindi converge uniformemente
faccio la stessa cosa con $text(sup)|f_n(1/n-\delta)| ->0$
Quindi se è tutto giusto, cosa di cui dubito in realtà, converge uniformemente su $(-infty, -1/n)uu(-1/n, 1/n)uu(1/n, +infty)$
Paolo90 aiutami tu
