Il simbolo "o piccolo"

[lorenzo.ferrara.71653]

salve a tutti
riporto testualmente la domanda di un compito d'esame:

Data la funzione $f(x)=(3x^2-x-2)/(x^3-x^2-5x-3)$. Quali delle seguenti affermazioni è corretta per $x->-infty$?
A. $f(x)=o(1/x)$
B. $f(x)~-3/x$
C. $1/(x^2) = o(f(x))$
D. $f(x)$ è un infinitesimo di ordine 3

Mi dà come risposta corretta la C. Qualcuno può dirmi cortesemente perchè?? Perchè quella x elevata al quadrato al denominatore??

Grazie mille!!!

[Plepp]

Ti basta applicare le definizioni cosa vuol dire che $1/x^2="o"(f(x))$?

[lorenzo.ferrara.71653]

ciao plepp, grazie per la risposta
$(f(x))/(g(x)) ->0 per x->-infty$
nel mio caso $f(x)$ è di ordine inferiore rispetto a $g(x)$!!!

Giusto???

[Plepp]

Dire che $g_1="o"(g_2)$ per $x\to x_0$ significa questo: per ogni $\epsilon>0$, esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $\forall x\in U\cap "Dom" g_1\cap "Dom"g_2 \setminus \{x_0\}$, si ha che $|g_1(x)|\le \epsilon |g_2(x)|$.

Se $g_2$ è non nulla vicino a $x_0$ [nota]Ovvero se esiste almeno un intorno $V$ di $x_0$ tale che $\forall x\in V\cap "Dom" g_2\setminus \{x_0\}$ risulta $g_2(x)\ne 0$.[/nota], la definizione si "semplifica": in tal caso, dire che $g_1="o"(g_2)$ per $x\to x_0$ equivale a
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}=0\]
Nel tuo caso si ha $g_1(x)=1/x^2$ e $g_2(x)=f(x)$, e $g_2$ è non nulla in un intorno di $-\infty$, dunque per verificare che $1/x_2="o"(f(x))$ è sufficiente calcolare
\[\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1/x^2}{f(x)}=0\]
Spero sia chiaro

[lorenzo.ferrara.71653]

Chiarissimo. Grazie mille!!!