Il segno della funzione integrale
salve,avrei dei problemi a capire come calcolare il segno di una funzione integrale e come varia il dominio in base agli estremi.
ad esempio se avessi due funzioni del tipo 1) $ F(x)=int_(0)^(x) e^(-1/t^2) dt $
2) $ F(x)=int_(ln|x| )^(ln(x^2)) e^(-1/t^2) dt $
la funzione integranda in entrambi i casi è definita su tutto $RR-{0}$, però il limite di $f(t)$ per $t->0$ è $0$,quindi $f(t)$ ha una discontinuità eliminabile,in questo caso per la funzione 1) il dominio risulterebbe tutto $RR$ perchè in prossimità di $0$ l'area è calcolabile.
Per la 2) invece la cosa dovrebbe cambiare per via degli estremi,ho che $f(t)$ è prolungabile in tutto $RR$ magli estremi non sono definiti in $0$,questo significa che il dominio di $F$ nel caso 2) è l'intersezione del dominio di $f$ con quello dei suoi estremi,questo è un caso generale?
E questa la procedura per trovare il dominio di una funzione integrale? calcolare il dominio dell'integranda,vedere dove è prolungabile la continuità e poi fare l'intersezione col dominio degli estremi?
per quanto riguarda il segno non so dove sbattere la testa.
limitandomi alla funzione 1) posso dire che il limite di $f(t)$ per $x->+-oo$ è $1$ e se all' infinito l'integranda tende a una costante allora l'area è per forza illimitata
Inoltre avendo scoperto che $f(t)$ in zero tende a zero affermo che $F(0)=0$ per definizione di integrale definito.
studiando la derivata col teorema di Lebinitz ho che $F'(x)=e^(-1/x^2)*1$ che è sempre maggiore di zero. Ne risulta che la $F$ è monotona crescente e si annulla in zero.
Questo basterebbe a far capire che per $x<0$ l'area è negativa,ma esiste un metodo più rigoroso per studiare il segno?
ad esempio se avessi due funzioni del tipo 1) $ F(x)=int_(0)^(x) e^(-1/t^2) dt $
2) $ F(x)=int_(ln|x| )^(ln(x^2)) e^(-1/t^2) dt $
la funzione integranda in entrambi i casi è definita su tutto $RR-{0}$, però il limite di $f(t)$ per $t->0$ è $0$,quindi $f(t)$ ha una discontinuità eliminabile,in questo caso per la funzione 1) il dominio risulterebbe tutto $RR$ perchè in prossimità di $0$ l'area è calcolabile.
Per la 2) invece la cosa dovrebbe cambiare per via degli estremi,ho che $f(t)$ è prolungabile in tutto $RR$ magli estremi non sono definiti in $0$,questo significa che il dominio di $F$ nel caso 2) è l'intersezione del dominio di $f$ con quello dei suoi estremi,questo è un caso generale?
E questa la procedura per trovare il dominio di una funzione integrale? calcolare il dominio dell'integranda,vedere dove è prolungabile la continuità e poi fare l'intersezione col dominio degli estremi?
per quanto riguarda il segno non so dove sbattere la testa.
limitandomi alla funzione 1) posso dire che il limite di $f(t)$ per $x->+-oo$ è $1$ e se all' infinito l'integranda tende a una costante allora l'area è per forza illimitata
Inoltre avendo scoperto che $f(t)$ in zero tende a zero affermo che $F(0)=0$ per definizione di integrale definito.
studiando la derivata col teorema di Lebinitz ho che $F'(x)=e^(-1/x^2)*1$ che è sempre maggiore di zero. Ne risulta che la $F$ è monotona crescente e si annulla in zero.
Questo basterebbe a far capire che per $x<0$ l'area è negativa,ma esiste un metodo più rigoroso per studiare il segno?
Risposte
Nota che $f(t) > 0 , \forall t \in RR$. Per la monotonia dell'integrale segue che, se $x > 0$, $int_0^x f(t) dt > 0$; se $x < 0$ $int_0^x f(t) dt = - int_x^0 f(t) dt < 0$.
Ti torna?
Ti torna?
ok,ma per quanto riguarda la funzione 2) allora? avendo agli estremi delle funzioni come faccio ad applicare questa cosa?
Beh, è facile notare che:
\[
F(x):= \int_{\ln |x|}^{\ln x^2} e^{-1/t^2}\, \text{d} t
\]
è definita per \(x\neq 0\) ed è una funzione pari.
Per quanto riguarda il segno, una delle proprietà dell'integrale di una funzione nonnegativa \(f\) è la seguente:
\[
\intop_a^b f(t)\, \text{d} t \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad a\leq b
\]
quindi la tua \(F\) è positiva in \(x\) se e solo se tale punto soddisfa la relazione \(\ln |x|\leq \ln x^2\) che equivale a:
\[
\ln |x|\leq 2\, \ln |x|;
\]
pertanto:
\[
F(x)\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \ln |x|\geq 0.
\]
\[
F(x):= \int_{\ln |x|}^{\ln x^2} e^{-1/t^2}\, \text{d} t
\]
è definita per \(x\neq 0\) ed è una funzione pari.
Per quanto riguarda il segno, una delle proprietà dell'integrale di una funzione nonnegativa \(f\) è la seguente:
\[
\intop_a^b f(t)\, \text{d} t \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad a\leq b
\]
quindi la tua \(F\) è positiva in \(x\) se e solo se tale punto soddisfa la relazione \(\ln |x|\leq \ln x^2\) che equivale a:
\[
\ln |x|\leq 2\, \ln |x|;
\]
pertanto:
\[
F(x)\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \ln |x|\geq 0.
\]
"gugo82":
Beh, è facile notare che:
\[
F(x):= \int_{\ln |x|}^{\ln x^2} e^{-1/t^2}\, \text{d} t
\]
è definita per \(x\neq 0\) ed è una funzione pari.
Per quanto riguarda il segno, una delle proprietà dell'integrale di una funzione nonnegativa \(f\) è la seguente:
\[
\intop_a^b f(t)\, \text{d} t \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad a\leq b
\]
Ho capito,quindi come caso generale si potrebbe anche disegnare i grafici degli estremi e vedere quando $f_a(x)<=f_b(x)$ trovare il punto di intersezione e stabilire il segno di $F$
p.s. nel caso gli estremi fossero entrambe funzioni maggiori di zero non andrebbe a influire
però ci sarebbe questa funzione che non mi torna:
$ F(x)= int_(1)^(x) (tln(t))/(t+2)^2 dt $
quando l'estremo $x$ è minore di $1$ $F(x)$ dovrebbe essere minore di $0$ e mi sarei aspettato $F(x)<0$ per $0<=x<=1$ e $F(x)>0$ per $x>1$ invece è sempre positiva come si evince dal grafico
penso di essere un po' confuso
$ F(x)= int_(1)^(x) (tln(t))/(t+2)^2 dt $
quando l'estremo $x$ è minore di $1$ $F(x)$ dovrebbe essere minore di $0$ e mi sarei aspettato $F(x)<0$ per $0<=x<=1$ e $F(x)>0$ per $x>1$ invece è sempre positiva come si evince dal grafico
penso di essere un po' confuso
Per favore, non applicare i teoremi "a caso".
La funzione integranda nell'ultimo esempio non è positiva ovunque... Anzi, cambia segno proprio in \(1\).
La funzione integranda nell'ultimo esempio non è positiva ovunque... Anzi, cambia segno proprio in \(1\).
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