Il problema di Cauchy per l'equazione di Laplace
Prima di tutto mi presento, mi chiamo Fabio.
Mi servirebbe una mano con una dimostrazione. Premetto che le mie capacità in questa disciplina sono abbastanza limitate, per cui anche un concetto semplice potrebbe essere per me insuperabile.
Il problema è dimostrare questo teorema :
Sia $\Omega$ un aperto limitato, $\psi \in W^(1,2)$; esiste una ed una sola funzione u di classe $C^(\infty)(\Omega)$ tale che :
$\Delta u = 0 $ in $\Omega$
$u - \psi \in W_0^(1,2)$
Il problema consiste nel dimostrare esistenza e unicità di quella funzione. Il problema, da come ho capito, si può ricondurre allo studio del minimo del funziona dell'energia :
$D(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^2\dx$
Studiare il minimo di questo funzione consente di risolvere il problema sopra enunciato.
Dimostrazione
La dimostrazione parte definendo l'estremo inferiore dei valori del funzionale, per tutte le funzioni u che si comportano come $\psi$ al bordo di $\Omega$ :
$\mu = $inf $( D(u):u - \psi \in W_0^(1,2) )$
Dovendo risolvere un problema di minimo, mi sembra un passo ragionevole.
Successivamente, si definisce un concetto, quello di successione minimante.
Def : Una successione $u_n$ è minimante se $u_n - \psi \in W_0^(1,2)$, inoltre $\lim_{n \to \infty}D(u_n)= \mu$
In termini pratici, ogni termine della successione si comporta al bordo di $\Omega$ come la funzione $\psi$. Inoltre, se consideriamo la successione di valori del funzionale, questa successione converge al valore $\mu$
Applicando semplicemente la definzione di $D(u)$, si ottiene ( questo va fatto per ogni componente, essendo il gradiente un vettore ):
$D(u_n + u_p) + D(u_n - u_p) = 2 D(u_n) + 2 D(u_p)$
Praticamente applica gli integrali, gioca con il fatto che un integrale della somma è uguale alla somma degli integrali e alla fine ottiene quel risultato.
Essendo $W_0^(1,2)$ un spazio vettoriale, è definita un'operazione di somma.
Se
$ u_n - \psi \in W_0^(1,2) $
$ u_p - \psi \in W_0^(1,2) $
Si ha quindi che
$ (u_n + u_p)/2 - \psi \in W_0^(1,2) $
Ho un po' di dubbi su quel 2 al denominatore, però assumiamo che sia corretto.
[size=150]Fine prima parte [/size]
[size=150]Sconda parte[/size]
Con quanto detto precedentemente, vogliamo a questo punto dimostrare che la successione degli $u_n$ è una successione di Cauchy nello spazio $W^(1,2) $. Per poter dimostrare questo, si utilizza la definizione dello spazio $W^(1,2) $:
Una funzione appartiene a $W^(1,2) $ se appartengono a $L^2$ la funzione e tutte le N derivate deboli.
Per poter dimostrare che la $u_n$ è una successione di cauchy nello spazio $W^(1,2) $ bisogna dimostrare che è una successione di Cauchy in $L^2$. INOLTRE, bisogna anche dimostrare che la successione delle derivate parziali è di Cauchy $L^2$ ( Questo passo è per me un attimino dubbio )
Dimostrazione Cauchy
$D(u_n + u_p ) = 4 D((u_n + u_p)/2)\ge 4 mu$
Qui non fa altro che applicare il fatto che lo spazio è vettoriale e minorare con l'estremo inferiore.
$D( u_n - u_p ) \le 2 D(u_n) + 2 D(u_p ) - 4 mu $
Discorso analogo a prima, utilizza $D(u_n + u_p) + D(u_n - u_p) = 2 D(u_n) + 2 D(u_p)$ e ottiene il minore uguale usando l'estremo inferiore
Da questa disuguaglianza otteniamo che la successione delle derivate è di Cauchy in $L^2$, infatti se facciamo tendere n e p a +infinito, otteniamo che la parte di destra va a zero, quindi
$\lim_{n,p \to \infty}D(u_n - u_p)= 0$
[size=150]Abbiamo dimostrato che la successione delle derivate è di Cauchy in $L^2$[/size]
Siccome lo spazio è uno spazio vettoriale $W_0^(1,2)$, abbiamo che $u_n - u_p\in W_0^(1,2) $ e
$\lim_{n,p \to \infty} ||u_n - u_p||_(L^2)= 0$ ( Questo passaggio proprio non riesco a spiegarmelo come ci riesce, probabilmente usa una diseguaglianza chiamata di puancare' )
Supponendo dimostrato quello, otteniamo che la successione è di Cauchy nello spazio di Banach $W^(1,2)$, essendo completo , ogni successione di Cauchy è una successione convergente e quindi esisterà una funzione u tale che
$\lim_{n,p \to \infty} ||u - u_m||_(W^(1,2))= 0$
cioè $u_n$ converge ad u. Essendo minimante la successione, si ottiene che $D(u) = mu$
Essendo $W_0^(1,2)$ uno spazio CHIUSO, dato che $u _n - \psi \in W_0^(1,2)$, il limite della successione deve essere per forza nello stesso spazio per la chiusura
$u - \psi \in W_0^(1,2)$
Quindi, abbiamo dimostrato che il $mu$ è un minimo, e che la funzione u minimizza il funzionale D nella classe di funzioni dello spazio $W^(1,2)$ con quel particolare comportamento al bordo :
$A=( w:w \in W^(1,2), w - \psi \in W_0^(1,2))$
La dimostrazione a questo punto continua, però vorrei sapere se quello che ho scritto è la giusta interpretazione se mi qualcuno mi potrebbe chiarire i punti in grassetto.
Mi servirebbe una mano con una dimostrazione. Premetto che le mie capacità in questa disciplina sono abbastanza limitate, per cui anche un concetto semplice potrebbe essere per me insuperabile.
Il problema è dimostrare questo teorema :
Sia $\Omega$ un aperto limitato, $\psi \in W^(1,2)$; esiste una ed una sola funzione u di classe $C^(\infty)(\Omega)$ tale che :
$\Delta u = 0 $ in $\Omega$
$u - \psi \in W_0^(1,2)$
Il problema consiste nel dimostrare esistenza e unicità di quella funzione. Il problema, da come ho capito, si può ricondurre allo studio del minimo del funziona dell'energia :
$D(u) = \int_{\Omega} |\nabla u|^2\dx$
Studiare il minimo di questo funzione consente di risolvere il problema sopra enunciato.
Dimostrazione
La dimostrazione parte definendo l'estremo inferiore dei valori del funzionale, per tutte le funzioni u che si comportano come $\psi$ al bordo di $\Omega$ :
$\mu = $inf $( D(u):u - \psi \in W_0^(1,2) )$
Dovendo risolvere un problema di minimo, mi sembra un passo ragionevole.
Successivamente, si definisce un concetto, quello di successione minimante.
Def : Una successione $u_n$ è minimante se $u_n - \psi \in W_0^(1,2)$, inoltre $\lim_{n \to \infty}D(u_n)= \mu$
In termini pratici, ogni termine della successione si comporta al bordo di $\Omega$ come la funzione $\psi$. Inoltre, se consideriamo la successione di valori del funzionale, questa successione converge al valore $\mu$
Applicando semplicemente la definzione di $D(u)$, si ottiene ( questo va fatto per ogni componente, essendo il gradiente un vettore ):
$D(u_n + u_p) + D(u_n - u_p) = 2 D(u_n) + 2 D(u_p)$
Praticamente applica gli integrali, gioca con il fatto che un integrale della somma è uguale alla somma degli integrali e alla fine ottiene quel risultato.
Essendo $W_0^(1,2)$ un spazio vettoriale, è definita un'operazione di somma.
Se
$ u_n - \psi \in W_0^(1,2) $
$ u_p - \psi \in W_0^(1,2) $
Si ha quindi che
$ (u_n + u_p)/2 - \psi \in W_0^(1,2) $
Ho un po' di dubbi su quel 2 al denominatore, però assumiamo che sia corretto.
[size=150]Fine prima parte [/size]
[size=150]Sconda parte[/size]
Con quanto detto precedentemente, vogliamo a questo punto dimostrare che la successione degli $u_n$ è una successione di Cauchy nello spazio $W^(1,2) $. Per poter dimostrare questo, si utilizza la definizione dello spazio $W^(1,2) $:
Una funzione appartiene a $W^(1,2) $ se appartengono a $L^2$ la funzione e tutte le N derivate deboli.
Per poter dimostrare che la $u_n$ è una successione di cauchy nello spazio $W^(1,2) $ bisogna dimostrare che è una successione di Cauchy in $L^2$. INOLTRE, bisogna anche dimostrare che la successione delle derivate parziali è di Cauchy $L^2$ ( Questo passo è per me un attimino dubbio )
Dimostrazione Cauchy
$D(u_n + u_p ) = 4 D((u_n + u_p)/2)\ge 4 mu$
Qui non fa altro che applicare il fatto che lo spazio è vettoriale e minorare con l'estremo inferiore.
$D( u_n - u_p ) \le 2 D(u_n) + 2 D(u_p ) - 4 mu $
Discorso analogo a prima, utilizza $D(u_n + u_p) + D(u_n - u_p) = 2 D(u_n) + 2 D(u_p)$ e ottiene il minore uguale usando l'estremo inferiore
Da questa disuguaglianza otteniamo che la successione delle derivate è di Cauchy in $L^2$, infatti se facciamo tendere n e p a +infinito, otteniamo che la parte di destra va a zero, quindi
$\lim_{n,p \to \infty}D(u_n - u_p)= 0$
[size=150]Abbiamo dimostrato che la successione delle derivate è di Cauchy in $L^2$[/size]
Siccome lo spazio è uno spazio vettoriale $W_0^(1,2)$, abbiamo che $u_n - u_p\in W_0^(1,2) $ e
$\lim_{n,p \to \infty} ||u_n - u_p||_(L^2)= 0$ ( Questo passaggio proprio non riesco a spiegarmelo come ci riesce, probabilmente usa una diseguaglianza chiamata di puancare' )
Supponendo dimostrato quello, otteniamo che la successione è di Cauchy nello spazio di Banach $W^(1,2)$, essendo completo , ogni successione di Cauchy è una successione convergente e quindi esisterà una funzione u tale che
$\lim_{n,p \to \infty} ||u - u_m||_(W^(1,2))= 0$
cioè $u_n$ converge ad u. Essendo minimante la successione, si ottiene che $D(u) = mu$
Essendo $W_0^(1,2)$ uno spazio CHIUSO, dato che $u _n - \psi \in W_0^(1,2)$, il limite della successione deve essere per forza nello stesso spazio per la chiusura
$u - \psi \in W_0^(1,2)$
Quindi, abbiamo dimostrato che il $mu$ è un minimo, e che la funzione u minimizza il funzionale D nella classe di funzioni dello spazio $W^(1,2)$ con quel particolare comportamento al bordo :
$A=( w:w \in W^(1,2), w - \psi \in W_0^(1,2))$
La dimostrazione a questo punto continua, però vorrei sapere se quello che ho scritto è la giusta interpretazione se mi qualcuno mi potrebbe chiarire i punti in grassetto.
Risposte
innanzi tutto benvenuto, se ti fa piacere presentarti c'è una sezione apposta.
cioè: $ u_n - \psi + u_p - \psi= u_n + u_p-$2$\psi$ per non far comparire quel 2 rosso e lasciare solo $psi$ è stato diviso tutto per 2
"Esposito":sono stati sommati $ u_n - \psi $ e $ u_p - \psi$
Essendo $W_0^(1,2)$ un spazio vettoriale, è definita un'operazione di somma.
Se
$ u_n - \psi \in W_0^(1,2) $
$ u_p - \psi \in W_0^(1,2) $
Si ha quindi che
$ (u_n + u_p)/2 - \psi \in W_0^(1,2) $
Ho un po' di dubbi su quel 2 al denominatore, però assumiamo che sia corretto.
cioè: $ u_n - \psi + u_p - \psi= u_n + u_p-$2$\psi$ per non far comparire quel 2 rosso e lasciare solo $psi$ è stato diviso tutto per 2
"Esposito":qui non ti è chiaro il concetto matematico o le cose da dimostrare?
Per poter dimostrare che la $u_n$ è una successione di cauchy nello spazio $W^(1,2) $ bisogna dimostrare che è una successione di Cauchy in $L^2$. INOLTRE, bisogna anche dimostrare che la successione delle derivate parziali è di Cauchy $L^2$ ( Questo passo è per me un attimino dubbio )
"Esposito":intendi dire di poincaré
$\lim_{n,p \to \infty} ||u_n - u_p||_(L^2)= 0$ ( Questo passaggio proprio non riesco a spiegarmelo come ci riesce, probabilmente usa una diseguaglianza chiamata di puancare' )
"Esposito":
Per poter dimostrare che la $u_n$ è una successione di cauchy nello spazio $W^(1,2) $ bisogna dimostrare che è una successione di Cauchy in $L^2$. INOLTRE, bisogna anche dimostrare che la successione delle derivate parziali è di Cauchy $L^2$ ( Questo passo è per me un attimino dubbio )
Basta ricordare che $||u||_(W^(1,2))=||u||_(L^2)+sum_(i=1)^N||(del u)/(del x_i)||_(L^2)$.
"raff5184":sono stati sommati $ u_n - \psi $ e $ u_p - \psi$
innanzi tutto benvenuto, se ti fa piacere presentarti c'è una sezione apposta.
[quote="Esposito"]Essendo $W_0^(1,2)$ un spazio vettoriale, è definita un'operazione di somma.
Se
$ u_n - \psi \in W_0^(1,2) $
$ u_p - \psi \in W_0^(1,2) $
Si ha quindi che
$ (u_n + u_p)/2 - \psi \in W_0^(1,2) $
Ho un po' di dubbi su quel 2 al denominatore, però assumiamo che sia corretto.
cioè: $ u_n - \psi + u_p - \psi= u_n + u_p-$2$\psi$ per non far comparire quel 2 rosso e lasciare solo $psi$ è stato diviso tutto per 2[/quote]
Ti ringrazio per la giusta osservazione.
Infatti è poincarè
scusami ho sbagliato a scrivere, ho scritto come si dovrebbe leggere, senza farci caso "elgiovo":
[quote="Esposito"]
Per poter dimostrare che la $u_n$ è una successione di cauchy nello spazio $W^(1,2) $ bisogna dimostrare che è una successione di Cauchy in $L^2$. INOLTRE, bisogna anche dimostrare che la successione delle derivate parziali è di Cauchy $L^2$ ( Questo passo è per me un attimino dubbio )
Basta ricordare che $||u||_(W^(1,2))=||u||_(L^2)+sum_(i=1)^N||(del u)/(del x_i)||_(L^2)$.[/quote]
Grazie, era esattamente l'input che mi serviva, non riuscivo a capire come mai bisognava dimostrare entrambe le cose.
Resta solo l'ultimo dubbio per questa prima parte :°)
Sono riuscito ( credo ) a risolvere l'ultimo punto.
Praticamente, la disuguaglianza di Poincare' io la posso esprime in questo modo :
$|| w ||_(L_2(\Omega)) \le k(D(w))^(1/2)$ per ogni $w \in W_0^(1,2)(\Omega)$
Dato che $u_n - u_p \in W_0^(1,2)(\Omega)$ sostituendo sopra ottengo :
$|| u_n - u_p ||_(L_2(\Omega)) \le k(D(u_n - u_p))^(1/2)$
Applicando il limite a destra e sinistra ottengo :
$\lim_{n,p \to \infty} || u_n - u_p ||_(L_2(\Omega)) \le \lim_{n,p \to \infty} k(D(u_n - u_p))^(1/2)$
il limite a destra è zero ( l'ho dimostrato prima ) quindi ho ottenuto quello che volevo.
penso sia cosi...
Praticamente, la disuguaglianza di Poincare' io la posso esprime in questo modo :
$|| w ||_(L_2(\Omega)) \le k(D(w))^(1/2)$ per ogni $w \in W_0^(1,2)(\Omega)$
Dato che $u_n - u_p \in W_0^(1,2)(\Omega)$ sostituendo sopra ottengo :
$|| u_n - u_p ||_(L_2(\Omega)) \le k(D(u_n - u_p))^(1/2)$
Applicando il limite a destra e sinistra ottengo :
$\lim_{n,p \to \infty} || u_n - u_p ||_(L_2(\Omega)) \le \lim_{n,p \to \infty} k(D(u_n - u_p))^(1/2)$
il limite a destra è zero ( l'ho dimostrato prima ) quindi ho ottenuto quello che volevo.
penso sia cosi...
Ragazzi mi è venuto un lapsus nel riscrivere la dimostrazione :
$D(u_n + u_p) = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} ((\partialu_n)/(\partialx_i)+(\partialu_p)/(\partialx_i))^2dx_i = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} (((\partialu_n)/(\partialx_i))^2+((\partialu_p)/(\partialx_i))^2 + 2((\partialu_n)/(\partialx_i))((\partialu_p)/(\partialx_i)))dx_i$
E' stato sviluppato il modulo con la norma Euclidea, giusto ?
$D(u_n ) = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} ((\partialu_n)/(\partialx_i))^2dx_i$
Il giorno prima dell'esame è terribile !!!
$D(u_n + u_p) = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} ((\partialu_n)/(\partialx_i)+(\partialu_p)/(\partialx_i))^2dx_i = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} (((\partialu_n)/(\partialx_i))^2+((\partialu_p)/(\partialx_i))^2 + 2((\partialu_n)/(\partialx_i))((\partialu_p)/(\partialx_i)))dx_i$
E' stato sviluppato il modulo con la norma Euclidea, giusto ?
$D(u_n ) = \sum_{i=1}^N \int_{\Omega} ((\partialu_n)/(\partialx_i))^2dx_i$
Il giorno prima dell'esame è terribile !!!
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