Il pelo nell'uovo: derivata di composizione, più variabili

[Jengis11]

Ciao ragazzi, ho svolto l'esercizio fino in fondo, ma alla fine non mi raccapezzo:

nb. ho usato $\Theta$ al posto del simbolo "composizione" e $J$ per il jacobiano

$f:R^2->R, a(t)=(sin(4t),e^(4t)), b(t)= (4-4cos(t),1+3t^2)$

So che $d/dt (f\Theta a)(0) = -1$ e che $d/dt (f\Theta b)(0) = 0$ .........Devo calcolare $\nablaf(0,1)$

premesso che $d/dt (f\Theta b)(0) = 0$ mi ha dato $J(b(0)) = ((0),(0))$ e che quindi non è utile ai nostri fini, espongo i miei ragionamenti:

$d/dt (f\Theta a) = \nablaf(a(t))J(a(t)) = \nablaf(a(t))((4cos(4t)),(4e^(4t))) = \nablaf(a(0))((4),(4)) = \nablaf(0,1)((4),(4))$

dovendo essere $\nablaf(0,1)((4),(4)) = -1$, ho scritto $4q_1 + 4q_2 = -1$, e ottengo che $q_1=-1/4 -q_2$, quindi verrebbero infinite soluzioni del tipo $\nablaf(0,1)=(-1/4 -q_2,q_2)$, ovvero $\nablaf(0,1)=(-1/4 -q,q)$
Il testo, cazzarola, specifica che questa soluzione è sbagliata, quella giusta è $\nablaf(0,1)=(q,-1/4 - q)$...
Su cosa "azzo" mi dovrei basare per scegliere l'ordine? C'ho pensato ore e non ne vengo a capo..

[Seneca1]

La seconda componente di $a(t)$ è $e^(4t)$ oppure $e^4t$?

[Jengis11]

é $e^(4t)$, scusa ma con tutte quelle parentesi è andata a finire che ne ho lasciata una..

[Jengis11]

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