Il modulo della differenza dei moduli...

[AnalisiZero]

Ciao,

Non mi è chiaro il primo passaggio della dimostrazione del fatto che il modulo della differenza dei moduli è minore o uguale del modulo della differenza.

La dimostrazione del libro inizia così:
"Da $x=x-y+y$ e dalla disuguaglianza triangolare si ha $|x|<=|x-y|+|y|$".
Ma se io provo da solo:
Da $x-y=x-y$ che equivale a dire $x+(-y)=x+(-y)$, e dalla disuguaglianza triangolare ottengo $|x-y|<=|x|+|y|$ e cioè $|x|>=|x-y|-|y|$. Sbaglio qualcosa o sbaglia il libro?

Grazie.

[dissonance]

Nessuno sbaglia, ma la disuguaglianza che trovi tu, ovvero \(|x-y|\le |x|+|y|\), anche se vera, non serve a niente qui. Perché? Perché devi trovare una disuguaglianza di tipo
\[
\text{qualcosa}\le |x-y|, \]
quindi nella tua il senso della disuguaglianza è sbagliato.

[AnalisiZero]

"dissonance":Nessuno sbaglia, ma la disuguaglianza che trovi tu, ovvero \(|x-y|\le |x|+|y|\), anche se vera, non serve a niente qui. Perché? Perché devi trovare una disuguaglianza di tipo
\[
\text{qualcosa}\le |x-y|, \]
quindi nella tua il senso della disuguaglianza è sbagliato.

Però nella disuguaglianza triangolare del testo non vedo nessuna cosa del tipo $|x+y|<=|x|+|y|$.
Potrei vedere $x$ come $x+0$ ma non mi sembra molto utile.

[dissonance]

Poni \(a=x-y, b=y\), cosicché la formula del libro diventa
\[
x=x-y + y =a+b.\]
Siccome \(|a+b|\le |a|+|b|\), allora
\[
|x|\le |x-y|+|y|.\]

[AnalisiZero]

"dissonance":Poni \(a=x-y, b=y\), cosicché la formula del libro diventa
\[
x=x-y + y =a+b.\]
Siccome \(|a+b|\le |a|+|b|\), allora
\[
|x|\le |x-y|+|y|.\]

Grazie mille. Questi trucci algebrici non riesco mai a vederli.