Il massimo coincide con l'estremo superiore.

[compa90]

Buongiorno, vi vorrei chiedere se il seguente modo è corretto di verificare

Sia $X\subseteqRR$ dotato di massimo $m$, allora si ha $m=L=mbox{sup}X$.

Dimostrazione:
Ricordo la definizione di massimo

$m=\mbox{max} X <=>$ 1) $ m \in X,\qquad$ 2) $m ge x forall x in X$

Ricordo la definizione di estremo superiore

$L=\mbox{sup} X <=>$ 1) $ L ge x\ \forall x in X \qquad $ 2) $forall epsilon>0 \ exists x in X \ : L-\epsilon
Suppongo per assurdo che $L\nem$, dunque si possono avere due casi $Lm$.

Se $L0$ quindi $\epsilon=m-L>0$ risulta $L-\epsilon=L-m+L=2L-m Dalla 1) si ha $x=2x-xle2L-m$, quindi $x Se $L>m$ allora $L-m>0$ quindi $\epsilon=L-m>0$ risulta $L-\epsilon=L-L+m=m Dalla 1) si ha un assurdo.

Quindi $L=m$

Va bene?

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Risposte

gugo82

28 mar 2023, 10:15

Ma è meglio farla direttamente.

Basta verificare che $m := max X$ gode delle due proprietà dell'estremo superiore.
La prima è immediata conseguenza della definizione di massimo; la seconda della positività di $varepsilon$ e del fatto che $m in X$.

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compa90

28 mar 2023, 10:54

Ciao gugo82 grazie per la risposta, quindi, dovrei procedere in un altro modo, cioè, devo verificare che per ogni $varepsilon>0$ esiste un certo $x in X$ per cui risulti $m-varepsilon
Se si, preso $varepsilon>0$ la quantità $m-varepsilon
Vuoi dire cosi ?

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gugo82

28 mar 2023, 20:44

E qual è questo $x$?

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compa90

29 mar 2023, 06:32

Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere in funzione di $varepsilon$; ho caricato anche una foto di quello che immagino.
Non lo so se ti ho risposto correttamente.





Ma il massimo è un punto di frontiera ?

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gugo82

29 mar 2023, 13:13

No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?


P.S.: Chi ti dice che l'insieme $X$ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

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compa90

29 mar 2023, 14:21

"gugo82":No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Cioè, $x$ deve soddisfare la 2) della definizione...scusami ma non ho capito.


In effetti, la domanda è mal posta o meglio poco chiara, cioè dovrei avere qualche informazione in più sull'insieme.

"gugo82":

Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?quote]

Comunque, un punto di frontiera per un insieme è un punto in cui cadono infiniti punti di $X$ e del suo complementare $CX$.

"gugo82":

P.S.: Chi ti dice che l'insieme $ X $ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

Sarebbe vuoto ?

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gugo82

29 mar 2023, 19:56

"compa90":[quote="gugo82"]No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Cioè, $x$ deve soddisfare la 2) della definizione...scusami ma non ho capito.[/quote]
Che vuol dire quando scrivi $AA varepsilon > 0, EE x in X:\ m - varepsilon < x$?
Come deve essere fatto $x$?
Deve dipendere necessariamente da $epsilon$ o può essere indipendente da esso?

Prendi $X=\{ 0\}$. Ce l'ha il massimo? Chi è?
E questo massimo gode delle due proprietà caratteristiche dell'estremo superiore?
Perché?

"compa90":In effetti, la domanda è mal posta o meglio poco chiara, cioè dovrei avere qualche informazione in più sull'insieme.

Quale domanda, scusa?

"compa90":[quote="gugo82"]
Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?

Comunque, un punto di frontiera per un insieme è un punto in cui cadono infiniti punti di $X$ e del suo complementare $CX$.[/quote]
Davvero?

Quali sono i punti di frontiera di $X = \{0\}$?
In ogni intorno degli eventuali punti di frontiera cadono davvero infiniti punti di $X$?
E se $X=RR\setminus \{0\}$, quali sono i punti di frontiera?
Intorno a tali punti cadono davvero infiniti punti di $C(X)$?

Insomma, sarebbe meglio ci pensassi trecento volte su prima di rimpiazzare una definizione generale (e corretta) con tue induzioni particolari (e generalmente false)...

"compa90":[quote="gugo82"]

P.S.: Chi ti dice che l'insieme $ X $ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

Sarebbe vuoto ?[/quote]
Cosa "sarebbe vuoto"?

Intendevo, sapresti dare la definizione di "inizio di un insieme"?

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compa90

30 mar 2023, 06:58

Quante domande Rispondo in ordine.

1) $forall epsilon>0$ esiste $x in X$ per cui $m-epsilon Io la interpreto cosi: Scelto un qualsiasi valore di $epsilon$ strettamente positivo, esiste un $x$ nell'insieme $X$, il quale deve soddisfare la seguente relazione $m-epsilon
2) $x$ affinché appartenga a $X$ deve necessariamente soddisfare $x le m$ e quindi deve essere fatto $m-epsilon
3) No $x$ non deve dipendere necessariamente da $epsilon$.

4) Si l'insieme $X={0}$ ha massimo

5) Il massimo è $0$

6) Gode delle proprietà dell'estremo superiore, perché è un maggiorante infatti, formalmente $forall \ x in X, \ x le 0$, e preso un qualsiasi valore strettamente positivo, prendo per fare l'esempio $epsilon:=0.00001$ quindi $0-0.00001=-0.00001<0$

7) "Quale domanda, scusa ? " Se il punto di massimo è un punto di frontiera.

8) No, ho dato una definizione sbagliata...dopo tante ore vado in crisi
Comunque, la definizione è: $EsubseteqS$ con $S$ spazio topologico. Sia $x in S$ si dice punto di frontiera per $E$ se $x$ non è ne interno e ne esterno a $E$

9) Il punto di frontiera dell'insieme $X={0}$ è $0$

10) No non cadono davvero infiniti punti $X$, perché non ci sono infiniti elementi.

11) I punti di frontiera di $ X=RR\setminus \{0\} $ sono tutti i numeri reali .

12) No, perché $ C(X) ={0}$ cioè ha un solo elemento

"Insomma, sarebbe meglio ci pensassi trecento volte su prima di rimpiazzare una definizione generale (e corretta) con tue induzioni particolari (e generalmente false)... "

Hai ragione, ho motivato al punto 8)

13) Non so cosa dovrebbe essere vuoto, fai finita che non abbia detto nulla

14) Per inizio insieme volevo intendere il primo punto dell'insieme, ma non ha senso come giustificazione.
Lo so a cosa stai pensado: Il primo punto rispetto a cosa, e un eventuale insieme con infiniti elementi, il primo punto da sx o da dx...
La foto è solo un modo poco corretto di indicare l'insieme $X$.

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compa90

31 mar 2023, 13:30

Ho corretto l'immagine

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gugo82

1 apr 2023, 08:49

Ok.

I punti importanti sono 2 e 3, che, in sostanza, insieme al 6, ti dicono chi puoi scegliere come $x$ per la dimostrazione della seconda proprietà dell'estremo superiore.

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compa90

1 apr 2023, 19:49

Grazie! per avermi dato alcuni input di valutazione.

Ciao

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gugo82

2 apr 2023, 08:32

"compa90":Grazie! per avermi dato alcuni input di valutazione.

Prego.
Ma se non sei in grado di dire chi è l'elemento $x$ che ti serve, la dimostrazione non è finita... Insomma, chi è $x$?

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compa90

3 apr 2023, 06:21

Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere $x=m$, poiché $varepsilon>0$ risulta $m-epsilon Questo dovrebbe anche giustificare la tua seguente affermazione

"gugo82":No, non "dovrebbe essere funzione di $ varepsilon $", in questo caso non ce n'è bisogno...

Intendi questo ?

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gugo82

3 apr 2023, 07:58

"compa90":Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere $x=m$, poiché $varepsilon>0$ risulta $m-epsilon Questo dovrebbe anche giustificare la tua seguente affermazione

[quote="gugo82"]No, non "dovrebbe essere funzione di $ varepsilon $", in questo caso non ce n'è bisogno...

Intendi questo ?[/quote]
Certo.
Finalmente ci siamo.

L'idea è che quando nell'insieme c'è un elemento che è maggiore di tutti gli altri, basta prendere proprio quell'elemento lì per soddisfare banalmente la seconda proprietà dell'estremo superiore.

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compa90

3 apr 2023, 09:07

Perfetto ! grazie per il consiglio

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[gugo82]

Ma è meglio farla direttamente.

Basta verificare che $m := max X$ gode delle due proprietà dell'estremo superiore.
La prima è immediata conseguenza della definizione di massimo; la seconda della positività di $varepsilon$ e del fatto che $m in X$.

[compa90]

Ciao gugo82 grazie per la risposta, quindi, dovrei procedere in un altro modo, cioè, devo verificare che per ogni $varepsilon>0$ esiste un certo $x in X$ per cui risulti $m-varepsilon
Se si, preso $varepsilon>0$ la quantità $m-varepsilon
Vuoi dire cosi ?

[gugo82]

E qual è questo $x$?

[compa90]

Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere in funzione di $varepsilon$; ho caricato anche una foto di quello che immagino.
Non lo so se ti ho risposto correttamente.





Ma il massimo è un punto di frontiera ?

[gugo82]

No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?


P.S.: Chi ti dice che l'insieme $X$ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

[compa90]

"gugo82":No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Cioè, $x$ deve soddisfare la 2) della definizione...scusami ma non ho capito.


In effetti, la domanda è mal posta o meglio poco chiara, cioè dovrei avere qualche informazione in più sull'insieme.

"gugo82":

Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?quote]

Comunque, un punto di frontiera per un insieme è un punto in cui cadono infiniti punti di $X$ e del suo complementare $CX$.

"gugo82":

P.S.: Chi ti dice che l'insieme $ X $ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

Sarebbe vuoto ?

[gugo82]

"compa90":[quote="gugo82"]No, non "dovrebbe essere funzione di $varepsilon$", in questo caso non ce n'è bisogno... Puoi dire subito chi puoi scegliere come $x$ in modo da soddisfare la proprietà 2.

Cioè, $x$ deve soddisfare la 2) della definizione...scusami ma non ho capito.[/quote]
Che vuol dire quando scrivi $AA varepsilon > 0, EE x in X:\ m - varepsilon < x$?
Come deve essere fatto $x$?
Deve dipendere necessariamente da $epsilon$ o può essere indipendente da esso?

Prendi $X=\{ 0\}$. Ce l'ha il massimo? Chi è?
E questo massimo gode delle due proprietà caratteristiche dell'estremo superiore?
Perché?

"compa90":In effetti, la domanda è mal posta o meglio poco chiara, cioè dovrei avere qualche informazione in più sull'insieme.

Quale domanda, scusa?

"compa90":[quote="gugo82"]
Per quanto riguarda la "frontieralità", secondo te?

Comunque, un punto di frontiera per un insieme è un punto in cui cadono infiniti punti di $X$ e del suo complementare $CX$.[/quote]
Davvero?

Quali sono i punti di frontiera di $X = \{0\}$?
In ogni intorno degli eventuali punti di frontiera cadono davvero infiniti punti di $X$?
E se $X=RR\setminus \{0\}$, quali sono i punti di frontiera?
Intorno a tali punti cadono davvero infiniti punti di $C(X)$?

Insomma, sarebbe meglio ci pensassi trecento volte su prima di rimpiazzare una definizione generale (e corretta) con tue induzioni particolari (e generalmente false)...

"compa90":[quote="gugo82"]

P.S.: Chi ti dice che l'insieme $ X $ abbia un "inizio"?
Che poi cosa sarebbe?

Sarebbe vuoto ?[/quote]
Cosa "sarebbe vuoto"?

Intendevo, sapresti dare la definizione di "inizio di un insieme"?

[compa90]

Quante domande Rispondo in ordine.

1) $forall epsilon>0$ esiste $x in X$ per cui $m-epsilon Io la interpreto cosi: Scelto un qualsiasi valore di $epsilon$ strettamente positivo, esiste un $x$ nell'insieme $X$, il quale deve soddisfare la seguente relazione $m-epsilon
2) $x$ affinché appartenga a $X$ deve necessariamente soddisfare $x le m$ e quindi deve essere fatto $m-epsilon
3) No $x$ non deve dipendere necessariamente da $epsilon$.

4) Si l'insieme $X={0}$ ha massimo

5) Il massimo è $0$

6) Gode delle proprietà dell'estremo superiore, perché è un maggiorante infatti, formalmente $forall \ x in X, \ x le 0$, e preso un qualsiasi valore strettamente positivo, prendo per fare l'esempio $epsilon:=0.00001$ quindi $0-0.00001=-0.00001<0$

7) "Quale domanda, scusa ? " Se il punto di massimo è un punto di frontiera.

8) No, ho dato una definizione sbagliata...dopo tante ore vado in crisi
Comunque, la definizione è: $EsubseteqS$ con $S$ spazio topologico. Sia $x in S$ si dice punto di frontiera per $E$ se $x$ non è ne interno e ne esterno a $E$

9) Il punto di frontiera dell'insieme $X={0}$ è $0$

10) No non cadono davvero infiniti punti $X$, perché non ci sono infiniti elementi.

11) I punti di frontiera di $ X=RR\setminus \{0\} $ sono tutti i numeri reali .

12) No, perché $ C(X) ={0}$ cioè ha un solo elemento

"Insomma, sarebbe meglio ci pensassi trecento volte su prima di rimpiazzare una definizione generale (e corretta) con tue induzioni particolari (e generalmente false)... "

Hai ragione, ho motivato al punto 8)

13) Non so cosa dovrebbe essere vuoto, fai finita che non abbia detto nulla

14) Per inizio insieme volevo intendere il primo punto dell'insieme, ma non ha senso come giustificazione.
Lo so a cosa stai pensado: Il primo punto rispetto a cosa, e un eventuale insieme con infiniti elementi, il primo punto da sx o da dx...
La foto è solo un modo poco corretto di indicare l'insieme $X$.

[compa90]

Ho corretto l'immagine

[gugo82]

Ok.

I punti importanti sono 2 e 3, che, in sostanza, insieme al 6, ti dicono chi puoi scegliere come $x$ per la dimostrazione della seconda proprietà dell'estremo superiore.

[compa90]

Grazie! per avermi dato alcuni input di valutazione.

Ciao

[gugo82]

"compa90":Grazie! per avermi dato alcuni input di valutazione.

Prego.
Ma se non sei in grado di dire chi è l'elemento $x$ che ti serve, la dimostrazione non è finita... Insomma, chi è $x$?

[compa90]

Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere $x=m$, poiché $varepsilon>0$ risulta $m-epsilon Questo dovrebbe anche giustificare la tua seguente affermazione

"gugo82":No, non "dovrebbe essere funzione di $ varepsilon $", in questo caso non ce n'è bisogno...

Intendi questo ?

[gugo82]

"compa90":Buongiorno gugo82!

Dovrebbe essere $x=m$, poiché $varepsilon>0$ risulta $m-epsilon Questo dovrebbe anche giustificare la tua seguente affermazione

[quote="gugo82"]No, non "dovrebbe essere funzione di $ varepsilon $", in questo caso non ce n'è bisogno...

Intendi questo ?[/quote]
Certo.
Finalmente ci siamo.

L'idea è che quando nell'insieme c'è un elemento che è maggiore di tutti gli altri, basta prendere proprio quell'elemento lì per soddisfare banalmente la seconda proprietà dell'estremo superiore.

[compa90]

Perfetto ! grazie per il consiglio