Il gradiente è sempre contenuto nel piano xy?
Sto studiando la differenziabilità e il gradiente dal libro e ci sono alcuni passaggi che non si capiscono bene.
Il libro giunge al risultato che il gradiente è sempre ortogonale alle curve di livello, ottenute sezionando una funzione di 2 variabili $f(x,y)$ con piani $z=K$, e fa vedere un grafico nel piano $xy$ con il gradiente appunto perpendicolare alla curva di livello. Nelle pagine precedenti però ha anche detto che il gradiente indica il verso e la direzione di massima crescita di $f$ in un punto, ed io con "immaginazione 3D" mi ero immaginato che fosse una freccia che parte da lì e punta ovunque nello spazio.
Quindi quando ha detto ortogonale alle curve di livello mi sono immaginato fosse ortogonale a 360^ attorno uno stesso punto della curva e però mostrando quel grafico e parlando di direzione di crescita mi è appunto venuto il dubbio perchè in conclusione non mi è chiaro DOVE sta il gradiente.
Dato che dipende dai versori $i$ e $j$ che sono quelli degli assi x e y a me alla fine vien da dire che il gradiente (immaginandolo sempre come una freccia) giace SOLO nel piano $xy$, non si muove in tutto lo spazio giusto?
E quindi quando il libro dice che indica "direzione e verso di massima crescita" intende che lo fa ma sempre restando nel piano $xy$ ?
Il libro giunge al risultato che il gradiente è sempre ortogonale alle curve di livello, ottenute sezionando una funzione di 2 variabili $f(x,y)$ con piani $z=K$, e fa vedere un grafico nel piano $xy$ con il gradiente appunto perpendicolare alla curva di livello. Nelle pagine precedenti però ha anche detto che il gradiente indica il verso e la direzione di massima crescita di $f$ in un punto, ed io con "immaginazione 3D" mi ero immaginato che fosse una freccia che parte da lì e punta ovunque nello spazio.
Quindi quando ha detto ortogonale alle curve di livello mi sono immaginato fosse ortogonale a 360^ attorno uno stesso punto della curva e però mostrando quel grafico e parlando di direzione di crescita mi è appunto venuto il dubbio perchè in conclusione non mi è chiaro DOVE sta il gradiente.
Dato che dipende dai versori $i$ e $j$ che sono quelli degli assi x e y a me alla fine vien da dire che il gradiente (immaginandolo sempre come una freccia) giace SOLO nel piano $xy$, non si muove in tutto lo spazio giusto?
E quindi quando il libro dice che indica "direzione e verso di massima crescita" intende che lo fa ma sempre restando nel piano $xy$ ?
Risposte
Già.
Ok grazie, l'immagine mentale erronea che mi stavo facendo era che: dato un punto qualunque della superfice, il gradiente è il vettore tangente lungo la direzione di massima pendenza a partire da quel punto lì, ma no, non è quel vettore. Il gradiente è come se fosse un vettore che vive solo "per terra" supponendo di avere una vista "dal alto", con l'asse z perpendicolare al foglio
Esatto, in realtà ci sono due interpretazioni grafiche del gradiente ma questa è una cosa che non si dice molto. Nel caso del grafico \(z=f(x, y)\) di una funzione \(f\), il gradiente \(\nabla f\) è un vettore nel piano, come dici correttamente. Nel caso di una superficie definita implicitamente dall'equazione \(g(x,y,z)=0\), il gradiente \(\nabla g(x_0, y_0, z_0)\) è un vettore applicato in \((x_0, y_0, z_0)\) normale alla superficie.
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