Il dualismo della sech

[Ehm..11]

Ciao,
facendo alcuni esercizi è uscita una ambigua situazione. Nello studio di una banale equazione differenziale dovevo risolvere l'integrale di sechx.
Il che con una semplice sostituzione (t=e^x) veniva: 2*arctg(e^x)+c
Mentre se si moltiplica e divide per coshx e si nota che cosh*dx=sinhx da cui integrando segue: arctg(sinhx)+c.
O_O
Cosa c'è che non torna?

[Ehm..11]

Ok. Ho trovato la soluzione.. questa è l'ora sbagliata per ragionare. Sono banalmente equivalenti, basta una banale traslazione. Anche se ammetto non ci avrei mai creduto. I comportamenti sembrano così diversi.. mah.

Se volete potete anche chiudere il topic, non mi sembra ci sia nulla da dire.

[gugo82]

Beh, hai \(\sinh x:= \frac{1}{2}\ (e^x -1/e^{x})\), quindi:
\[
\arctan \sinh x = \arctan \left( \frac{1}{2}\left( e^x -\frac{1}{e^x}\right)\right)\; ;
\]
posto \(\arctan e^x =\theta \in ]0,\pi/2[\), si ha:
\[
\arctan \frac{1}{e^x} =\arctan \frac{1}{\tan \theta} = \arctan \cot \theta =\frac{\pi}{2}-\theta = \frac{\pi}{2} -\arctan e^x\; .
\]
D'altra parte è:
\[
\arctan \sinh x= \arctan \frac{e^x -e^{-x}}{2} =\arctan \frac{e^x-e^{-x}}{1+e^x e^{-x}} =\arctan e^x -\arctan \frac{1}{e^x} = 2\arctan e^x - \frac{\pi}{2}
\]
ove la terza uguaglianza vale per la formula di addizione dell'arcotangente.