Il Dominio della Funzione Integrale definita a tratti.
Salve a tutti, questo è il mio primo post perciò perdonatemi se faccio qualche errore.
Ho un dubbio nell' individuazione del Dominio di una funzione $F(x)$ tipo questa:
$f (x)= \{((x-2)*e^-3x),(1+cosx):}$
La prima funzione del sistema è definita per $x>=0$
e la seconda per $x<0$
Dove $F (x)=\int_1^xf(t)dt$
Il Dominio della funzione integrale $F (x)$ è l'insieme dei punti nei quali la funzione integranda $f (t)$ è continua, e quindi integrabile. In questo preciso caso la funzione integranda è continua su $RR-{0}$ poichè in $0$ vi è una discontinuità di salto.
Adesso a rigor di logica mi verrebbe da indicare il Dominio di $F (x)$ con l'insieme $D={x in RR : 0<=x<+oo}$ in quanto l'estremo di integrazione deve essere contenuto nel dominio.
Ma così è sbagliato(visto alla correzione dell'esame) in quanto il Dominio di $F(x)$ è $RR$. Il grafico della funzione integrale non avrà ovviamente un punto di salto in $x=0$ perchè la funzione integrale è sempre continua ma ci sarà una cuspide o un punto angoloso.
Qualcuno mi può aiutare a capire perchè il Dominio di $F(x)$ è $RR$?
Grazie in anticipo!
Ho un dubbio nell' individuazione del Dominio di una funzione $F(x)$ tipo questa:
$f (x)= \{((x-2)*e^-3x),(1+cosx):}$
La prima funzione del sistema è definita per $x>=0$
e la seconda per $x<0$
Dove $F (x)=\int_1^xf(t)dt$
Il Dominio della funzione integrale $F (x)$ è l'insieme dei punti nei quali la funzione integranda $f (t)$ è continua, e quindi integrabile. In questo preciso caso la funzione integranda è continua su $RR-{0}$ poichè in $0$ vi è una discontinuità di salto.
Adesso a rigor di logica mi verrebbe da indicare il Dominio di $F (x)$ con l'insieme $D={x in RR : 0<=x<+oo}$ in quanto l'estremo di integrazione deve essere contenuto nel dominio.
Ma così è sbagliato(visto alla correzione dell'esame) in quanto il Dominio di $F(x)$ è $RR$. Il grafico della funzione integrale non avrà ovviamente un punto di salto in $x=0$ perchè la funzione integrale è sempre continua ma ci sarà una cuspide o un punto angoloso.
Qualcuno mi può aiutare a capire perchè il Dominio di $F(x)$ è $RR$?
Grazie in anticipo!
Risposte
"alegio20":
Il Dominio della funzione integrale $F (x)$ è l'insieme dei punti nei quali la funzione integranda $f (t)$ è continua, e quindi integrabile. In questo preciso caso la funzione integranda è continua su $RR-{0}$ poichè in $0$ vi è una discontinuità di salto.
No, questo è un errore. Il dominio della funzione integrale
\begin{equation}
F(x)=\int_1^x f(t)\, dt
\end{equation}
è l'insieme delle \(x\) tali che l'integrale
\[\int_1^x f(t)\, dt\]
esista finito. Non per forza \(f\) è continua sul dominio di \(F\).
Quindi facevo un errore a livello teorico... 
Mi annoterò subito che il Dominio di una funzione integrale è l'insieme delle $x$ per le quali esiste finito l'integrale, e non solo dove è continua la funzione!
Grazie mille Dissonance!!
Mi annoterò subito che il Dominio di una funzione integrale è l'insieme delle $x$ per le quali esiste finito l'integrale, e non solo dove è continua la funzione!
Grazie mille Dissonance!!
Si ma questa è una cosa che devi capire, la devi vedere. Non basta annotarsela da qualche parte. Suggerisco di ragionare su questo esempio campione:
Sia \(u\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) la funzione definita da
\begin{equation}
u(x)=\begin{cases} 1 & x>0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}
\end{equation}
Figura:
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-0.5; ymax=1.5; axes();strokewidth=2; line([-11,0], [0,0]); line([0, 1], [11,1]); strokewidth=1; circle([0,1], 0.2); fill="black"; circle([0, 0], 0.2);[/asvg]
Solo ragionando sul grafico e senza fare nessun conto, disegna il grafico della funzione
\[
U(x)=\int_0^x u(t)\, dt.
\]
Determina in particolare il suo insieme di definizione.
Sia \(u\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) la funzione definita da
\begin{equation}
u(x)=\begin{cases} 1 & x>0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}
\end{equation}
Figura:
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-0.5; ymax=1.5; axes();strokewidth=2; line([-11,0], [0,0]); line([0, 1], [11,1]); strokewidth=1; circle([0,1], 0.2); fill="black"; circle([0, 0], 0.2);[/asvg]
Solo ragionando sul grafico e senza fare nessun conto, disegna il grafico della funzione
\[
U(x)=\int_0^x u(t)\, dt.
\]
Determina in particolare il suo insieme di definizione.
Allora l'insieme di definizione di $U(x)$ è $RR$, e il grafico di $U(x)$ è:
La funzione $U(x)$ è continua per definizione, inoltre $U(0)= 0$ quindi $U$ si annulla in $x=0$ .
Sono giuste il mio ragionamento e le mie conclusioni?
La funzione $U(x)$ è continua per definizione, inoltre $U(0)= 0$ quindi $U$ si annulla in $x=0$ .
Sono giuste il mio ragionamento e le mie conclusioni?
Ok. L'unica cosa su cui non sono d'accordo è questa:
La funzione U(x) è continua per definizioneNo, non "per definizione". E' continua perché lo hai dimostrato.
"dissonance":
Ok. L'unica cosa su cui non sono d'accordo è questa:
La funzione U(x) è continua per definizioneNo, non "per definizione". E' continua perché lo hai dimostrato.
Hai ragione, è un errore mio. Purtroppo sono stato abituato a dirlo così...
Abituato male ovviamente....
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