Il dilemma del integrale triplo
allora esercizio è
$int int int_V x^2+y^2+z^2-1 $ con $V={x^2+y^2+z^2<2,x^2+y^2
si tratta di una sfera con un iperboloide infinito e il mio volume è area interna all'iperboloide e chiusa sopra dalla sfera in parole povera una palla da regby con il sedere a sfera
(sempre se si tratta di questa geometria )
mentre voi vi disegnate questo volume io passo in coordinate sferiche e considero $(theta)$la variazione circolare cioe $(0,2pi)$ mentre $phi$ la variazione in altezza cioè $(0,pi)$
quindi:
$int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(sqrt(2))[int_(arcos(1-1/(rho)))^(arcos(-1+1/(rho)))sen(phi) d(phi)](rho^4-rho^2)d(theta)$
in poche parole $rho$ varia da 0 al raggio della circonferenza e fino qui è semplice, mentre per $phi$ vi prendete equazione dell paraboloide sostituite in sferiche e mi trovate l angolo interno tra i due rami di paraboloide ,e visto che piu in alto andiamo nel paraboloide , piu angolo aumenta ,questo appunto è dovuto in funzione del raggio $(rho)$mentre su $theta$ nulla da dire in quanto è circolare
adesso svolgete questo integralino semplice vi esce $8pisqrt(2)/15$ mentre dovrebbe uscire $4pisqrt(2)/15-19pi/60$
come vedrete il risultato è quasi simile adesso mi sono domandato quale sia il problema e gli occhi mi sono andati proprio sul minore stretto del insieme di definizione del mio volume guardate sopra quindi in teoria viene calcolato l area interna della mia geometria senza considerare le superfici che delimitano a punto il mio volume percio quel valore che viene sottratto dovrebbe essere proprio la somma di tutte le superfici cioè le superfici del paraboloide e la superficie della sfera che chiude il paraboloide di sopra. bene detto questo e spero che le mie intuizioni matematiche siano giuste ditemi come faccio a togliere quelle superfici.grazie mille a chi riuscira a scovare questo integrale triplo che mi tormenta
$int int int_V x^2+y^2+z^2-1 $ con $V={x^2+y^2+z^2<2,x^2+y^2
si tratta di una sfera con un iperboloide infinito e il mio volume è area interna all'iperboloide e chiusa sopra dalla sfera in parole povera una palla da regby con il sedere a sfera
(sempre se si tratta di questa geometria ) mentre voi vi disegnate questo volume io passo in coordinate sferiche e considero $(theta)$la variazione circolare cioe $(0,2pi)$ mentre $phi$ la variazione in altezza cioè $(0,pi)$
quindi:
$int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(sqrt(2))[int_(arcos(1-1/(rho)))^(arcos(-1+1/(rho)))sen(phi) d(phi)](rho^4-rho^2)d(theta)$
in poche parole $rho$ varia da 0 al raggio della circonferenza e fino qui è semplice, mentre per $phi$ vi prendete equazione dell paraboloide sostituite in sferiche e mi trovate l angolo interno tra i due rami di paraboloide ,e visto che piu in alto andiamo nel paraboloide , piu angolo aumenta ,questo appunto è dovuto in funzione del raggio $(rho)$mentre su $theta$ nulla da dire in quanto è circolare
adesso svolgete questo integralino semplice vi esce $8pisqrt(2)/15$ mentre dovrebbe uscire $4pisqrt(2)/15-19pi/60$
come vedrete il risultato è quasi simile adesso mi sono domandato quale sia il problema e gli occhi mi sono andati proprio sul minore stretto del insieme di definizione del mio volume guardate sopra quindi in teoria viene calcolato l area interna della mia geometria senza considerare le superfici che delimitano a punto il mio volume percio quel valore che viene sottratto dovrebbe essere proprio la somma di tutte le superfici cioè le superfici del paraboloide e la superficie della sfera che chiude il paraboloide di sopra. bene detto questo e spero che le mie intuizioni matematiche siano giuste ditemi come faccio a togliere quelle superfici.grazie mille a chi riuscira a scovare questo integrale triplo che mi tormenta
Risposte
"alessandrof10":
$ int_(0)^(2pi)d(theta)int_(0)^(sqrt(2))[int_(arcos(1-1/(rho)))^(arcos(-1+1/(rho)))sen(phi) d(phi)](rho^4-rho^2)d(theta) $
scusa una domanda.. per l'angolo $\phi$
come hai fatto a trovare $ arccos (-1+(1)/(\rho)) $ ?
a me sostituendo le coordinate esce questo $ \rho^2 \sin^2\phi< \rho \cos\phi $
Comunque se nell'insieme di integrazione c'è il minore stretto o il minore-uguale.. NON cambia nulla!.. (me lo disse la prof)
per l'angolo $ \theta \in [0,2\pi] $ e ci siamo.. ma è per l'altro angolo che non capisco come hai fatto a trovarlo..
se mi spieghi come hai fatto.. così almeno provo pure io a risolverlo..
Il minore stretto non cambia niente. Immagina che il tuo pallone da rugby sia una cipolla: mettendoci il minore stretto togli proprio l'ultimo foglietto, che ha sì una superficie ma ha volume zero. Il volume della cipolla con o senza l'ultimo foglietto (ovvero, con il minore-uguale o il minore stretto) è lo stesso.
@dissonance
lo chiedo prima che mi ritrovo nella stessa situazione.. ho provato prima a fare questo integrale triplo (per me, un esercizio)
mi sono fermato proprio su questa disuguaglianza $\rho^2\sin^2\phi<\rho\cos\phi$
tu cosa mi consigli per ricavare le coordinate dell'angolo $\phi$ ?.. chiedo perché se dovessi ritrovarmi in questa situazione almeno so come sbloccarmi..
lo chiedo prima che mi ritrovo nella stessa situazione.. ho provato prima a fare questo integrale triplo (per me, un esercizio)
mi sono fermato proprio su questa disuguaglianza $\rho^2\sin^2\phi<\rho\cos\phi$
tu cosa mi consigli per ricavare le coordinate dell'angolo $\phi$ ?.. chiedo perché se dovessi ritrovarmi in questa situazione almeno so come sbloccarmi..
Ciao ragazzi per trovare $ phi $ basta che scrivi il seno il coseno e ti ritrovi un equazione di secondo grado in cosphi e da li fai tutti i passaggi e ti esce arcos di 1 e poi arcocoseno di quella roba in rho allora visto che il minore stretto non c'entra allora ditemi come fa non uscirmi poi un altra cosa vi invito a verificare esattezza della figura geometrica e se è uguale a quella che intendo io perché non so più cosa pensare grazie a tutti
"alessandrof10":
Ciao ragazzi per trovare $ phi $ basta che scrivi il seno il coseno e ti ritrovi un equazione di secondo grado in cosphi e da li fai tutti i passaggi e ti esce arcos di 1 e poi arcocoseno di quella roba in rho allora visto che il minore stretto non c'entra allora ditemi come fa non uscirmi poi un altra cosa vi invito a verificare esattezza della figura geometrica e se è uguale a quella che intendo io perché non so più cosa pensare grazie a tutti
è per capire.. a me esce questo
da qui $ \rho^2\sin^2\phi<\rho \cos\phi $
ponendo $ \sin^2\phi=1-\cos^2\phi $
ottengo $ \rho^2(1-\cos^2\phi)<\rho \cos\phi\to -\rho^2\cos^2\phi-\rho cos\phi+\rho^2<0 $
quindi è $ \rho^2\cos^2\phi+\rho\cos\phi-\rho^2>0 $
$ \rho(\rho\cos^2\phi+cos\phi-\rho)>0 $
e allora si ha $ \rho>0 \vee \rho cos^2\phi+cos\phi-\rho>0 $
ecco per $ \rho cos^2\phi+cos\phi-\rho>0 $
$ \Delta=1^2-4(\rho)(-\rho)=1+4\rho^2 $
da qui in poi come hai fatto a trovare le soluzioni?...
vorrei capire..
fammi capire.. una volta arrivato qua $\rho cos^2\phi+cos\phi-\rho>0 $
come hai tirato fuori le soluzioni..
Allora dalla sostituzione continuo io
$rho^2cos(phi)^2+rhocos(phi)-rho^2> 0$ divido per$ rho^2 $
$Cos (phi)^2+cos(phi)/rho-1> 0$
$cos (phi)(cos (phi)+1/(rho))> 1$
$Cos (phi)> 1$
$ phi> 0$
$Cos (phi)> 1-1/(rho) $
$ phi> arcos (1-1/(rho)) $
per la simmetria del coseno nel secondo quadrante basta che cambi segno nel argomento del coseno e ti trovi altro estremo di integrazione
$rho^2cos(phi)^2+rhocos(phi)-rho^2> 0$ divido per$ rho^2 $
$Cos (phi)^2+cos(phi)/rho-1> 0$
$cos (phi)(cos (phi)+1/(rho))> 1$
$Cos (phi)> 1$
$ phi> 0$
$Cos (phi)> 1-1/(rho) $
$ phi> arcos (1-1/(rho)) $
per la simmetria del coseno nel secondo quadrante basta che cambi segno nel argomento del coseno e ti trovi altro estremo di integrazione
Per vedere se il mio risultato è giusto basta che ti fai il disegnino di un circonferenza unitaria e di una parabola poi prendi il vettore rho che va dal origine fino a pigreco mezzi quindi rho e esattamente 1 lo sostituisci nel rho della mia espressione e vedi che atgomento è zero in fatti a 90 gradi il coseno e nullo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo