Il criterio della radice e del rapporto

[Cantor99]

Studiano il criterio della radice e del rapporto per serie di potenze, leggevo di come il criterio della radice fosse 'più forte' di quello del rapporto (cioè se il criterio della radice fallisce allora fallisce anche quello del rapporto mentre se il criterio della radice va a buon fine tale è anche quello del rapporto). Il tutto viene ricondotto alla seguente proprietà

Se $a_{n}$ è una successione di reali positivi risulta
\[
\liminf_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\le \liminf_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le \limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
\]

La cosa che non mi spiego è che, dalle diseguaglianze sopra, sembra che il buon esito del criterio del rapporto implichi quello della radice

Ad esempio, se prendo una serie a termini positivi $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}$, che converge per il criterio del rapporto, dovri avere
\[
\limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\le\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1
\]
Pertanto la serie converge anche per il criterio della radice. I

PS Invero, se il criterio della radice radice fallisce mi trovo che anche quello del rapporto fa lo stesso, essendo
\[
\limsup_{n} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\ge\limsup_{n} \sqrt[n]{|a_{n}|}\ge 1
\]

[dissonance]

Si, quando si dice che il criterio della radice è "più forte", si intende che se il criterio del rapporto è conclusivo, allora è conclusiva pure la radice. Se invece il rapporto è inconclusivo (limite = 1), può tuttavia essere possibile che la radice sia conclusiva.

[Cantor99]

perfetto, grazie mille