Il carattere di questa serie, sembra facile....
...ma non riesco.
$sum_(n=0)^oo log(n)/n$
Ho provato con il criterio del rapporto ma nulla....
$sum_(n=0)^oo log(n)/n$
Ho provato con il criterio del rapporto ma nulla....
Risposte
Per tutte le $n$ maggiori di $n_0$ avrai che $log(n) > c$, con $c >0$.
Per cui:
$sum_{n=n_0+1}^{\infty} log(n)/(n) > sum_{n=n_0+1}^{\infty} (c)/(n) $
La serie è dunque divergente.
EDIT: alternativamente. Criterio dell'integrale.
$sum_{n=1}^{\infty} log(n)/(n)$ converge $<=> \int_1^{\infty} log(x)/x dx$ converge.
Una primitiva dell'integrale è banalmente $1/2(ln(x))^2$.
Il limite per x tendente ad infinito di $1/2(ln(x))^2$ tende ad infinito, per cui per il criterio la serie diverge.
Per cui:
$sum_{n=n_0+1}^{\infty} log(n)/(n) > sum_{n=n_0+1}^{\infty} (c)/(n) $
La serie è dunque divergente.
EDIT: alternativamente. Criterio dell'integrale.
$sum_{n=1}^{\infty} log(n)/(n)$ converge $<=> \int_1^{\infty} log(x)/x dx$ converge.
Una primitiva dell'integrale è banalmente $1/2(ln(x))^2$.
Il limite per x tendente ad infinito di $1/2(ln(x))^2$ tende ad infinito, per cui per il criterio la serie diverge.
"pat87":
Per tutte le $n$ maggiori di $n_0$ avrai che $log(n) > c$, con $c >0$.
Per cui:
$sum_{n=n_0+1}^{\infty} log(n)/(n) > sum_{n=n_0+1}^{\infty} (c)/(n) $
La serie è dunque divergente.
EDIT: alternativamente. Criterio dell'integrale.
$sum_{n=1}^{\infty} log(n)/(n)$ converge $<=> \int_1^{\infty} log(x)/x dx$ converge.
Una primitiva dell'integrale è banalmente $1/2(ln(x))^2$.
Il limite per x tendente ad infinito di $1/2(ln(x))^2$ tende ad infinito, per cui per il criterio la serie diverge.
Grazie per avermi risposto, purtroppo riguardando il mio posto ho commesso un errore: non è $n$ ma $n^2$
Saresti gentilissimo se riuscissi a farmi anche questa
.
Converge.
Sapendo che per un $n$ maggiore di $n_0$ hai che $log(n) < sqrt(n)$ (visto che semplicemente il logaritmo cresce più lentamente di una potenza positiva di n), allora hai che:
$sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} log(n)/(n^2) < sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} sqrt(n)/(n^2) = sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} 1/(n^(3/2))$
Sapendo che $sum_{n=1}^{\infty} 1/(n^a)$ converge per tutte le $a>1$ abbiamo trovato una maggiorante convergente, e quindi la serie converge.
Sapendo che per un $n$ maggiore di $n_0$ hai che $log(n) < sqrt(n)$ (visto che semplicemente il logaritmo cresce più lentamente di una potenza positiva di n), allora hai che:
$sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} log(n)/(n^2) < sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} sqrt(n)/(n^2) = sum_{n= n_0 + 1}^{\infty} 1/(n^(3/2))$
Sapendo che $sum_{n=1}^{\infty} 1/(n^a)$ converge per tutte le $a>1$ abbiamo trovato una maggiorante convergente, e quindi la serie converge.
Bel lavoro pat87! 
Vorrei comunque aggiungere una nota.
Confrontiamo l'infinitesimo $(log n)/n^2$ con le potenze dell'infinitesimo campione $1/n$: fissato $p>0$ abbiamo:
$lim_n ((log n)/n^2)/(1/n^p)=lim_n (log n)/n^(2-p)=\{(0, ", se "p<2),(+oo, ", se "p ge2):} quad$,
cosicché la successione degli addendi della serie $\sum_n (log n)/n^2$ è infinitesima d'ordine superiore ad ogni numero $p<2$ pur non essendo dotata di ordine rispetto ad $1/n$.
D'altra parte, dal confronto con la serie armonica generalizzata, si ricavano le seguenti condizioni sufficienti alla convergenza ed alla divergenza di una serie a termini (definitivamente) positivi:
(noterai, se conosci già l'argomento, che c'è una forte somiglianza tra queste condizioni sufficienti per la convergenza/divergenza di una serie e le condizioni sufficienti a garantire la convergenza/divergenza di un integrale improprio del tipo $\int_a^(+oo) f(x)" d"x$ con $f$ non negativa: ciò non è casuale perchè, come si potrebbe dimostrare rigorosamente, la somma di una serie è la "controparte discreta" dell'integrale $\int_0^(+oo) f(x)" d"x$).
Nel caso in esame la successione degli addendi è d'ordine superiore ad ogni numero minore di due quindi, fissando $alpha=3/2<2$, è possibile affermare che $(log n)/n^2$ è infinitesimo d'ordine superiore ad $alpha>1$: in tal modo la convergenza della serie è assicurata dalla a) della proposizione precedente.
Buono studio Gainder.
Vorrei comunque aggiungere una nota.
"Gainder":
Il carattere di questa serie, sembra facile....ma non riesco.
$sum_(n=0)^oo log(n)/n^2$
Ho provato con il criterio del rapporto ma nulla...
Confrontiamo l'infinitesimo $(log n)/n^2$ con le potenze dell'infinitesimo campione $1/n$: fissato $p>0$ abbiamo:
$lim_n ((log n)/n^2)/(1/n^p)=lim_n (log n)/n^(2-p)=\{(0, ", se "p<2),(+oo, ", se "p ge2):} quad$,
cosicché la successione degli addendi della serie $\sum_n (log n)/n^2$ è infinitesima d'ordine superiore ad ogni numero $p<2$ pur non essendo dotata di ordine rispetto ad $1/n$.
D'altra parte, dal confronto con la serie armonica generalizzata, si ricavano le seguenti condizioni sufficienti alla convergenza ed alla divergenza di una serie a termini (definitivamente) positivi:
La serie a termini (definitivamente) positivi $\sum_n a_n$:
a) converge se la successione $(a_n)_(n in NN)$ è un infinitesimo d'ordine non inferiore (cioè $ge$) ad un fissato $alpha>1$;
b) diverge se la successione $(a_n)_(n in NN)$ è un infinitesimo d'ordine non superiore (cioè $le$) ad $1$.
(noterai, se conosci già l'argomento, che c'è una forte somiglianza tra queste condizioni sufficienti per la convergenza/divergenza di una serie e le condizioni sufficienti a garantire la convergenza/divergenza di un integrale improprio del tipo $\int_a^(+oo) f(x)" d"x$ con $f$ non negativa: ciò non è casuale perchè, come si potrebbe dimostrare rigorosamente, la somma di una serie è la "controparte discreta" dell'integrale $\int_0^(+oo) f(x)" d"x$).
Nel caso in esame la successione degli addendi è d'ordine superiore ad ogni numero minore di due quindi, fissando $alpha=3/2<2$, è possibile affermare che $(log n)/n^2$ è infinitesimo d'ordine superiore ad $alpha>1$: in tal modo la convergenza della serie è assicurata dalla a) della proposizione precedente.
Buono studio Gainder.
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