Il calcolo di una trasformata di Fourier

[dissonance]

C'è un esercizio sulle trasformate di Fourier di aspetto piuttosto innocuo:

calcolare la trasformata della $u(x)=1/(1+x^2)^2$.

Il testo ricorda che $(1/(1+x^2))^hat\ \="exp"(-|xi|)$ e suggerisce di calcolare prima le trasformate di $x/(1+x^2)^2, (x^2)/(1+x^2)^2$. Quindi chiede di calcolare $hat{u}(xi)$ mediante due metodi:
1) esprimere $u$ come combinazione delle due funzioni suggerite e poi trasformare il tutto (e questo è facile);
2) esprimere $u$ come soluzione di una equazione differenziale, trasformarne ambo i membri e risolvere $hat{u}$ dall'equazione risultante.

Il mio problema è sulla 2): infatti non mi viene in mente niente di meglio che derivare: $u'(x)=(-4x)/(1+x^2)^3=-4x/(1+x^2)u(x)$, moltiplicare ambo i membri per $(1+x^2)$ e trasformare. Così però ottengo una equazione del secondo ordine, non in forma normale, e i conti diventano un po' complicati...

Possibile che non ci sia un sistema più semplice?

[ciampax]

Prova così: se $f(x)=(1+x^2)^{-1}$ allora $f'(x)=-2x\cdot u(x)$, e quindi $i\xi\ \hat{f}(\xi)=-2\int_{-\infty}^{+\infty} u(x)\ xe^{-ix\xi}\ dx=-2i\frac{d}{d\xi}(\hat{u}(\xi))$.
L'equazione diventa allora
$\hat{u}'(\xi)=-\frac{\xi}{2}\cdot e^{-|\xi|}$.

Divertiti!

[dissonance]

"ciampax":
Divertiti!

Yuu-huu! Che spasso!!!
Grazie, ciampax. Stavo combinando un casino infernale!