Identità tra serie di potenze
Salve a tutti! Ho un esercizio svolto prestatomi da un amico e non capisco un passaggio che vi è all'interno. L'esercizio è il seguente:
Dimostrare le seguenti identità, valide per $|x|<1$:
$(a)$ $\sum_{n=1}^infty nx^(2n)$$=$$(x^2)/(1-x^2)^2$
e
$(b)$ $\sum_{n=1}^infty n^2x^(2n)$$=$$(x^2+x^4)/(1-x^2)^3$
Allora, il mio problema è il seguente: questo mio amico inizia l'esercizio (sia nel caso $(a)$, sia nel caso $(b)$ ) ponendo $y=x^2$. Ok, ci sto! E adesso arriva il punto che non capisco: da dove esce $\sum_{n=1}^infty y^n$$=$$1/(1-y)$? Perché da qui così continua (procedo con l'esercizio $(b)$): procede derivando rispetto ad $y$ e ottiene $\sum_{n=1}^infty ny^(n-1)$$=$$1/(1-y)^2$. Moltiplica il tutto per $y$ ed ha $\sum_{n=1}^infty ny^n$$=$$y/(1-y)^2$. Perfetto. Questo mio amico esegue ancora una volta la derivata ed ottiene svolgendo bene tutti i calcoli: $\sum_{n=1}^infty n^2y^(n-1)$$=$$(1+y)/(1-y)^3$. Moltiplica ancora per $y$ e si ha $\sum_{n=1}^infty n^2y^n$$=$$(y+y^2)/(1-y)^3$. A questo punto procede con la sostituzione effettuata all'inizio, cioè $y=x^2$. Pertanto avremo $\sum_{n=1}^infty n^2x^(2n)$$=$$(x^2+x^4)/(1-x^2)^3$.
Tutto ok! Tranne per il fatto che non capisco da dove esce ad inizio esercizio $\sum_{n=1}^infty y^n$$=$$1/(1-y)$, altrimenti non posso proseguire. C'entra qualcosa con $|x|<1$? Il resto ho capito tutto.
Grazie anticipatamente a chi potrà darmi una mano.
Dimostrare le seguenti identità, valide per $|x|<1$:
$(a)$ $\sum_{n=1}^infty nx^(2n)$$=$$(x^2)/(1-x^2)^2$
e
$(b)$ $\sum_{n=1}^infty n^2x^(2n)$$=$$(x^2+x^4)/(1-x^2)^3$
Allora, il mio problema è il seguente: questo mio amico inizia l'esercizio (sia nel caso $(a)$, sia nel caso $(b)$ ) ponendo $y=x^2$. Ok, ci sto! E adesso arriva il punto che non capisco: da dove esce $\sum_{n=1}^infty y^n$$=$$1/(1-y)$? Perché da qui così continua (procedo con l'esercizio $(b)$): procede derivando rispetto ad $y$ e ottiene $\sum_{n=1}^infty ny^(n-1)$$=$$1/(1-y)^2$. Moltiplica il tutto per $y$ ed ha $\sum_{n=1}^infty ny^n$$=$$y/(1-y)^2$. Perfetto. Questo mio amico esegue ancora una volta la derivata ed ottiene svolgendo bene tutti i calcoli: $\sum_{n=1}^infty n^2y^(n-1)$$=$$(1+y)/(1-y)^3$. Moltiplica ancora per $y$ e si ha $\sum_{n=1}^infty n^2y^n$$=$$(y+y^2)/(1-y)^3$. A questo punto procede con la sostituzione effettuata all'inizio, cioè $y=x^2$. Pertanto avremo $\sum_{n=1}^infty n^2x^(2n)$$=$$(x^2+x^4)/(1-x^2)^3$.
Tutto ok! Tranne per il fatto che non capisco da dove esce ad inizio esercizio $\sum_{n=1}^infty y^n$$=$$1/(1-y)$, altrimenti non posso proseguire. C'entra qualcosa con $|x|<1$? Il resto ho capito tutto.
Grazie anticipatamente a chi potrà darmi una mano.
Risposte
Infatti il tuo collega ha sbagliato.
Per noti fatti sulla serie geometrica di ragione \(y\), sai che:
\[
\sum_{n=\color{red}{0}}^\infty y^n =1+y+y^2 +\cdots +y^n+\cdots = \frac{1}{1-y}
\]
se e solo se \(|y|<1\) (nota che la serie parte dalla potenza di grado zero, in rosso); quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty y^n &= y+y^2+\cdots +y^n+\cdots \\
&= 1 + (y+y^2+\cdots +y^n+\cdots) -1\\
&= (1+y+y^2+\cdots +y^n+\cdots ) -1\\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty y^n\right) - 1 \\
&= \frac{1}{1-y} -1\\
&= \frac{y}{1-y}
\end{split}
\]
sempre se \(|y|<1\).
Per noti fatti sulla serie geometrica di ragione \(y\), sai che:
\[
\sum_{n=\color{red}{0}}^\infty y^n =1+y+y^2 +\cdots +y^n+\cdots = \frac{1}{1-y}
\]
se e solo se \(|y|<1\) (nota che la serie parte dalla potenza di grado zero, in rosso); quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=1}^\infty y^n &= y+y^2+\cdots +y^n+\cdots \\
&= 1 + (y+y^2+\cdots +y^n+\cdots) -1\\
&= (1+y+y^2+\cdots +y^n+\cdots ) -1\\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty y^n\right) - 1 \\
&= \frac{1}{1-y} -1\\
&= \frac{y}{1-y}
\end{split}
\]
sempre se \(|y|<1\).
Guarda che $sum_(n=1)^(+oo)y^n$($=sum_(n=0)^(+oo)y^n-y^0=1/(1-y)-1$)$=y/(1-y)$ $AAy in(-1,1) setminus {0}$:
e quell'uguaglianza è vera pure per $y=0$..
Saluti dal web.
Edit.
Corretto errore di fretta:
mi scuso inoltre per la contemporaneità,
ma continuo a non capire perchè non vedo più le altrui risposte prima d'inviare la mia,
e perchè mi cade facilmente l'accesso se lascio la mia pagina di risposta aperta,ed inattiva,per qualche minuto..
e quell'uguaglianza è vera pure per $y=0$..
Saluti dal web.
Edit.
Corretto errore di fretta:
mi scuso inoltre per la contemporaneità,
ma continuo a non capire perchè non vedo più le altrui risposte prima d'inviare la mia,
e perchè mi cade facilmente l'accesso se lascio la mia pagina di risposta aperta,ed inattiva,per qualche minuto..
Grazie x le risposte! Siete stati davvero gentili. C'erano alcune cose andate nel dimenticatoio e che devo andare a rispolverare. Cmq nn era nnt di chissà qnt difficile alla fine. Grazie ancora a Gugo82 e Theras!
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