Identità tra funzioni
Se ho la funzione, definita in $I=[-\pi,\pi]$,
\[f(x)= \begin{cases} -x+\pi & x>0 \\ x+\pi & x<0 \end{cases}\]
questa coincide con $g(x)=-|x|+\pi$, giusto? (Per la considerazione sull'origine leggere dopo
)
PS. Il fatto che la funzione sia definita in $[-\pi,\pi]$ e poi, nella sua espressione, non compaia lo $0$ mi fa pensare che la professoressa si sia dimenticata di scriverlo... Ma anche se così non fosse, ovvero in $0$ avesse un qualche altro valore diverso da $\pi$, dovendo calcolare integrali di Lebesgue del tipo $\int_I f(x)dx$, $\int_I f(x)cosxdx$ e $\int_I f(x)sinxdx$ posso fregarmene, giusto?
\[f(x)= \begin{cases} -x+\pi & x>0 \\ x+\pi & x<0 \end{cases}\]
questa coincide con $g(x)=-|x|+\pi$, giusto? (Per la considerazione sull'origine leggere dopo
)PS. Il fatto che la funzione sia definita in $[-\pi,\pi]$ e poi, nella sua espressione, non compaia lo $0$ mi fa pensare che la professoressa si sia dimenticata di scriverlo... Ma anche se così non fosse, ovvero in $0$ avesse un qualche altro valore diverso da $\pi$, dovendo calcolare integrali di Lebesgue del tipo $\int_I f(x)dx$, $\int_I f(x)cosxdx$ e $\int_I f(x)sinxdx$ posso fregarmene, giusto?
Risposte
Certo; perturbazioni su insiemi di misura nulla non hanno rilevanza. Basta pensare alla funzione caratteristica di $QQ$.
\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{\mathbb{Q}} = 0 \]
\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{\mathbb{Q}} = 0 \]
"Seneca":
Certo; perturbazioni su insiemi di misura nulla non hanno rilevanza. Basta pensare alla funzione caratteristica di $QQ$.
\[ \int_{\mathbb{R}} \chi_{\mathbb{Q}} = 0 \]
Grazie, così facendo mi semplifico molti conti perché tutti gli integrali in $I$ di roba dispari li tolgo subito.
Grazie ancora per la conferma.
Altra identità. Posso dire che
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(n(\pi/2)\right)}}{\pi} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\]
oppure è sbagliato?
Analogamente con a sinistra $cos(n\pi)$ e con a destra $(-1)^n$?
EDIT. Corretto un errore di battitura.
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(n(\pi/2)\right)}}{\pi} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\]
oppure è sbagliato?
Analogamente con a sinistra $cos(n\pi)$ e con a destra $(-1)^n$?
EDIT. Corretto un errore di battitura.
"giuliofis":
Altra identità. Posso dire che
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{n\pi}}{\pi} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\]
oppure è sbagliato?
Analogamente con a sinistra $cos(n\pi)$ e con a destra $(-1)^n$?
io direi cosi
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{n\pi}}{\pi} =0\]
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{n\pi}}{\pi} = \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \]
"Noisemaker":
[quote="giuliofis"]Altra identità. Posso dire che
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{n\pi}{\pi} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\pi}\]
oppure è sbagliato?
Analogamente con a sinistra $cos(n\pi)$ e con a destra $(-1)^n$?
io direi cosi
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{n\pi}}{\pi} =0\]
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos{n\pi}}{\pi} = \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \][/quote]
Scusami, mi ero dimenticato un numero... Ora ho corretto!
allora ok 
Grazie!
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