Identità funzioni analitiche complesse

[dRic]

Ciao, il teorema di unicità delle funzioni analitiche (complesse) dice che:

siano $f$, $g$ due funzioni in un aperto connesso $A$. Se l'insieme dei punti di $A$ in cui $f(z) = g(z)$ contiene una successione di punti convergente in $A$, allora $f = g$ in tutto A.

Quindi se prendo la funzione $z sin(1/z)$ con $z$ complesso questa funzione non si annulla in una serie convergente tipo $1/(k \pi)$ ? E allora non dovrebbe essere identicamente nulla ?

Mi pare ovvio che stia sbagliando qualcosa...

[Mathita]

Chi è $A$ nell'esempio che proponi? La successione $a_k=\frac{1}{k\pi}$ converge in $A$?

[dRic]

mhm no, scusa in A non converge perché 0 dovrebbe essere escluso (o dico una cavolata?). Ma allora non posso fare

$f(z) = zsin(1/z)$ per $z \ne 0$ e $f(z) = 0$ per $ z = 0$ ? in questo modo includerei lo 0...

[otta96]

Si ma hai verificato se dopo questa modifica la funzione rimane analitica?

[gugo82]

Ma la funzione così prolungata non sarebbe analitica.

[dRic]

Magari dico una cappellata perché ho studiato oggi questa cosa, ma se $z = 0$ è una singolarità eliminabile, lo sviluppo in serie di Lorant diventa uno sviluppo in serie di potenze semplici e ponendo $f(0) = 0 = c_0$ (primo coefficiente dello sviluppo in serie) non dovrei ottenere una funzione olomorfa, dunque analitica ?

[otta96]

Ma la discontinuità non é eliminabile perché lo sviluppo di Laurent ha dei termini negativi.

[dRic]

Urca è vero... basta prendere lo sviluppo in serie del seno e mettere $1/z$... Però io sapevo che una singolarità isolata $a$ è detta eliminabile se esiste finito $lim_{z->a} f(z)$. In questo caso il limite esiste finito ed è 0 (se non ho sbagliato a fare i conti). Non vorrei andare off-topic però

[Mathita]

Attento, il limite $\lim_{z\to 0}z\sin(\frac{1}{z})$ non è zero (il limite non esiste, stai lavorando con il seno complesso ). Non a caso $z_0=0$ è una singolarità essenziale per la funzione.

[dRic]

Un errore dietro l'altro...
Grazie mille a tutti per l'aiuto

[dissonance]

"dRic":Un errore dietro l'altro...

Fai bene a farti questi esempi, in autonomia. È così che si impara. Non ti preoccupare di sbagliare.

[dRic]

[ot]@dissonance

È vero, questi piccoli esempi mi stanno aiutando, oltre a rendere lo studio più interessante. Peccato che lo abbia capito solo dopo qualche anno di università...
... Meglio tardi che mai! [/ot]