Identità Eulero polinomi omogenei

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo scritto sul mio libro* che, dall'identità di Eulero\[\text{gr}(F) F=\sum_{i=0}^{N} X_i\frac{\partial F}{\partial X_i}\]dove \(F(X_1,...,X_N)\) è un polinomio omogeneo di grado \(\text{gr}(F)\) discende, detta \(F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}\) la derivata parziale \((m-2)\)-esima rispetto a \(X_{i_1},X_{i_2},...,X_{i_{m-2}}\) del polinomio omogeneo \(F(X_0,X_1,X_2)\) (con \(i_1,...,i_{m-2}\) scelti tra \(0,1,2\), chiaramente), la seguente uguaglianza:\[(m-2)F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)=\]\[=F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_0+F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_1+F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_2.\]
Ora, dato che il grado di \(F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)\) mi sembrerebbe \(\text{gr}(F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}})=\text{gr}(F)-m+2\), non si dovrebbe avere che \(F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_0+F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_1+F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)X_2=\)
\(=(\text{gr}(F)-m+2)F_{i_1,i_2,...,i_{m-2}}(X_0,X_1,X_2)\)?
Grazie di cuore a chiunque vorrà salvarmi dall'emicrania!!!

*Sernesi, Geometria I, ma posto qua perché si tratta di derivate... Mi scuso con i moderatori se avessi sbagliato qualcosa...