Identità differenziali

[Tomt1]

Ringrazio in anticipo chiunque voglia aiutarmi. Bene il problema è questo:

C'è un'identità differenziale tra campi vettoriali A e B che è la seguente (x è il prod vettore e ∙ è quello scalare)

∇x(AxB)=(B∙∇)A-(A∙∇)B+A(∇∙B)-B(∇∙A)

ora su un libro l'ho trovata come

∇x(AxB)=A div(B) - B div(A) + B J(A) - A J(B)

dove J() è la matrice jacobiana. Quindi le due formule dovrebbero essere equivalenti. Però se vado a svolgere i conti le cose non mi tornano. Le divergenze va bene, sono quelle. Però non riesco a dimostrare che
(B∙∇)A = B J(A)

e quindi nemmeno che

(A∙∇)B = A J(B)

Dopo aver sprecato 20 mila fogli ho notato che forse l'uguaglianza è verificata invertendo l'ordine del prodotto matriciale ovvero ad esempio per la prima non B J(A) ma J(A) B .Però dopo tutti questi conti ho il cervello in fumo e non ne sono sicuro. Potrebbe il libro aver sbagliato invertendo l'ordine del prodotto tra il campo e la jacobiana? Oppure è tutta un'altra storia? Spero davvero che qualcuno riesca a chirirmi questo dilemma. Grazie a chiunque voglia rispondermi e spero di non aver fatto errori di battitura


PS Ovviamente non vi sto chiedendo di scrivermi tutti i conti, sarebbe folle, ma solo se a voi viene verificata l'uguaglianza o meno

[ciampax]

A me torna, invece. Indicando con $A=(a^1,a^2,a^3),\ B=(b^1,b^2,b^3),\ \nabla=(\partial_1,\partial_2,\partial_3)$ abbiamo
$$(B\bullet \nabla)A=(b^1\partial_1+b^2\partial_2+b^3\partial_3)(a^1,a^2,a^3)=(Da^1,Da^2,Da^3)$$
essendo $D=b^1\partial_1+b^2\partial_2+b^3\partial_3$ l'operatore differenziale che viene fuori. D'altra parte
$$B\cdot J(A)=(b^1,b^2,b^3)\cdot\left(\begin{array}{ccc}
\partial_1 a^1 & \partial_1 a^2 & \partial_1 a^3\\
\partial_2 a^1 & \partial_2 a^2 & \partial_2 a^3\\
\partial_3 a^1 & \partial_3 a^2 & \partial_3 a^3
\end{array}\right)$$
e svolgendo l'usuale prodotto righe per colonne ottieni esattamente lo stesso vettore di prima.

[Tomt1]

Però quella non è la jacobiana...o sì? La jacobiana non ha su ogni riga la stessa componente derivata rispetto alla opportune variabili? Cioè su ogni riga il grandiente della componente iesima? Cercando su internet trovo che la jacobiana è diversa da quella che hai scritto...in sostanza è la trasposta di quella che hai scritto tu. Non ci capisco più nulla.

[ciampax]

Sostanzialmente dipende da come consideri i vettori: nel libro che stai usando li vedranno come righe, per cui la Jacobiana viene scritta come ho fatto.

[Tomt1]

Ho capito. Allora riguarderò bene il tutto. Grazie per la risposta

[ciampax]

Prego. In ogni caso, ribadisco, è probabilmente solo una questione di notazioni: eventualmente scrivere lo jacobiano classico e mettere il vettore colonna dopo esso porta allo stesso risultato.