Identità differenziale.
Propongo questo quesito (semplice) di analisi.
Sia $y:[0, +infty[->RR$ una funzione di classe $C^1$ tale che $y(0)>0$, $y'(x)=y(x)arctgy(x)$ $AAx in[0,+infty[$. Dimostrare che $y$ è crescente, che $lim_(xtoinfty)y(x)=+infty$ e dedurne che $y$ non ha asintoti obliqui od orizzontali per $xtoinfty$.
Sia $y:[0, +infty[->RR$ una funzione di classe $C^1$ tale che $y(0)>0$, $y'(x)=y(x)arctgy(x)$ $AAx in[0,+infty[$. Dimostrare che $y$ è crescente, che $lim_(xtoinfty)y(x)=+infty$ e dedurne che $y$ non ha asintoti obliqui od orizzontali per $xtoinfty$.
Risposte
Per il teorema di Lagrange (corollario) se $y'(x)$ è positiva, $y(x)$ è crescente. Ma $y(x) tan^(-1)y(x)>=0 forall x in RR$, perchè $f(x)=tan^(-1)(x)$ è di segno concorde con $x$, quindi $y(x)$ è crescente. Ma se $y(x)$ è crescente anche $y(x) tan ^(-1) y(x)$ è crescente, quindi $lim_(x rightarrow oo) y(x)=oo$, e non ci sono asintoti orizzontali.
Ok elgiovo. Alternativamente si poteva utilizzare il teorema di de l'Hopital e vedere che la funzione non può avere limite finito.
piccola appendice all'esercizio di giuseppe87x
esiste una funzione che soddisfa le condizioni imposte?
buona serata
esiste una funzione che soddisfa le condizioni imposte?
buona serata
Premetto che ho barato, ma cercando un po' in giro mi sembra di aver visto che la funzione in questione rispetta le due ipotesi di un (uno dei tanti) teorema di Cauchy e allora il problema di Cauchy associato all'equazione imponendo $y(x_0) = y_0$ ammette soluzione unica. Ora se si fanno variare $x$ e $y$ in $RR^+$ dovrebbe essere univocamente determinata una funzione che soddisfi le ipotesi di Giuseppe... no?
certo, posso vedere il problema come problema di Cauchy
la condizione iniziale è:
$y(0) = y_0$, con $y_0 > 0$
per ogni assegnato valore iniziale $y_0$ devo garantire che vi sia una soluzione (l'unicità non ci riguarda, qui) del problema di Cauchy che è definita su tutto il semiasse non negativo
la condizione iniziale è:
$y(0) = y_0$, con $y_0 > 0$
per ogni assegnato valore iniziale $y_0$ devo garantire che vi sia una soluzione (l'unicità non ci riguarda, qui) del problema di Cauchy che è definita su tutto il semiasse non negativo
Una funzione che rispetta le condizioni è, ad esempio :
$y = e^(x*arctgx)/sqrt(1+x^2)$
Però è definita anche per $ x<0 ...$
$y = e^(x*arctgx)/sqrt(1+x^2)$
Però è definita anche per $ x<0 ...$
ecco qua il tipico ingegnere che con 4 conti brutali ci fa scendere dalle nuvolette!
ma il matematico ha sempre la mossa finale (?) vincente (?):
prendo la restrizione a $[0. +oo[$ della funzione che hai indicato!
PS: non mi è neanche passato per la testa di verificare (nonostante Tahoma) che la funzione da te proposta risolva l'equazione differenziale. Mi fido degli ingegneri
ma il matematico ha sempre la mossa finale (?) vincente (?):
prendo la restrizione a $[0. +oo[$ della funzione che hai indicato!
PS: non mi è neanche passato per la testa di verificare (nonostante Tahoma) che la funzione da te proposta risolva l'equazione differenziale. Mi fido degli ingegneri
"Fioravante Patrone":
ecco qua il tipico ingegnere che con 4 conti brutali ci fa scendere dalle nuvolette!
ma il matematico ha sempre la mossa finale (?) vincente (?):
prendo la restrizione a $[0. +oo[$ della funzione che hai indicato!
PS: non mi è neanche passato per la testa di verificare (nonostante Tahoma) che la funzione da te proposta risolva l'equazione differenziale. Mi fido degli ingegneri
Conti brutali ? no, due calcoletti ..
Con la restrizione mi hai fregato : così semplice devo riconoscerlo !
Se non tocco con mano non ci credo
beh... anche a meccanica analitica quando devo risolvere un sistema di derivate parziali l'unica tecnica che uso è sparare a caso le funzioni e vedere se funzionano 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo