Identità di Green
Mi servirebbero chiarimenti riguardo la prima identità di Green ovvero
[tex]$\int_{\Omega}v\Delta u dxdy + \int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla v dxdy= \int_{\partial \Omega} v \frac{\partial u}{\partial \vec N}dl $[/tex]
(dove [tex]\vec N[/tex] è la normale esterna relativa all' insieme [tex]\Omega \subseteq \mathbb{R}^2[/tex])
oltre a essere una formula per l' integrazione per parti, in che modo si può "vedere"?
Ad esempio viene utilizzata per la dimostrazione del teorema di unicità della soluzione relativa
al problema di Neumann per il laplaciano, ma non mi è chiaro perchè.
Mi verrebbe da dire che è uno strumento per facilitare il calcolo degli integrali in alcuni casi particolari,
ma questa è piuttosto (per non dire del tutto
) vaga come motivazione.
Vi ringrazio in anticipo
[tex]$\int_{\Omega}v\Delta u dxdy + \int_{\Omega}\nabla u \cdot \nabla v dxdy= \int_{\partial \Omega} v \frac{\partial u}{\partial \vec N}dl $[/tex]
(dove [tex]\vec N[/tex] è la normale esterna relativa all' insieme [tex]\Omega \subseteq \mathbb{R}^2[/tex])
oltre a essere una formula per l' integrazione per parti, in che modo si può "vedere"?
Ad esempio viene utilizzata per la dimostrazione del teorema di unicità della soluzione relativa
al problema di Neumann per il laplaciano, ma non mi è chiaro perchè.
Mi verrebbe da dire che è uno strumento per facilitare il calcolo degli integrali in alcuni casi particolari,
ma questa è piuttosto (per non dire del tutto
) vaga come motivazione.Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Quelle formule sono importanti in modo estremo nell'analisi moderna. Si, all'inizio uno dice "vabbé, ma che è 'sta cosa?". Invece proprio su quelle formule si basano concetti importanti come la teoria delle distribuzioni e degli spazi di Sobolev: essenzialmente perché ti forniscono una visione integrale (debole) degli operatori differenziali.
Io preferisco ricordare questa formula, che si dimostra facilmente con il teorema della divergenza e che io trovo essere il più intuitivo di tutti:
[tex]$\int_\Omega \nabla u\ \cdot \mathbf{v}\, dV= \int_{\partial\Omega}u \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS - \int_{\Omega} u(\nabla \cdot \mathbf{v})\, dV[/tex]
per lo stesso motivo uso notazioni da fisico, con [tex]dV, dS[/tex] che indicano l'elemento di volume e di superficie rispettivamente. Stiamo dicendo che si può "trasferire" un gradiente di campo scalare in una divergenza di campo vettoriale a patto di aggiungere un opportuno termine che tenga conto del flusso uscente attraverso il bordo.
Io preferisco ricordare questa formula, che si dimostra facilmente con il teorema della divergenza e che io trovo essere il più intuitivo di tutti:
[tex]$\int_\Omega \nabla u\ \cdot \mathbf{v}\, dV= \int_{\partial\Omega}u \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS - \int_{\Omega} u(\nabla \cdot \mathbf{v})\, dV[/tex]
per lo stesso motivo uso notazioni da fisico, con [tex]dV, dS[/tex] che indicano l'elemento di volume e di superficie rispettivamente. Stiamo dicendo che si può "trasferire" un gradiente di campo scalare in una divergenza di campo vettoriale a patto di aggiungere un opportuno termine che tenga conto del flusso uscente attraverso il bordo.
[OT]
Unicità per il problema di Neumann?
Sei sicuro?
[/OT]
Unicità per il problema di Neumann?
Sei sicuro?
[/OT]
Quindi dato il seguente problema di Neumann
[tex]\begin{cases} \Delta w\ = f(x,y,z) & \forall (x,y,z) \in \Omega
\\ \frac {\partial w}{\partial \vec n}=\psi(x,y,z) & \forall (x,y,z) \in \partial \Omega \end{cases}[/tex]
Possiamo mettere in relazione i "dati" attraverso la [tex]1^a[/tex] identità di Green, esatto?
Ponendo [tex]\nabla w= \mathbf{v}[/tex] , [tex]u=1[/tex] e sostituendo nella formula:
ottengo
[tex]$\int_{\Omega} (\nabla \cdot \mathbf{v})\, dV = \int_{\partial\Omega} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS[/tex] che equivale a
[tex]$\int_{\Omega} f(x,y,z), dV = \int_{\partial\Omega} \psi(x,y,z) dS[/tex]
ovvero l' integrale della densità del campo è uguale al flusso del campo attraverso [tex]\partial \Omega[/tex], corretto?
E se invece [tex]u=0[/tex], oppure in generale [tex]u \ne 0[/tex], qual' è il significato dal punto di vista fisico?
In effetti nella tesi del teorema si afferma che [tex]u_1 - u_2 = costante[/tex]
(dove [tex]u_1[/tex] e [tex]u_2[/tex] sono due soluzioni)
mi sarà sfuggito qualcosa?
edit: ho modificato questo, prima avevo cliccato invia per sbaglio
[tex]\begin{cases} \Delta w\ = f(x,y,z) & \forall (x,y,z) \in \Omega
\\ \frac {\partial w}{\partial \vec n}=\psi(x,y,z) & \forall (x,y,z) \in \partial \Omega \end{cases}[/tex]
Possiamo mettere in relazione i "dati" attraverso la [tex]1^a[/tex] identità di Green, esatto?
Ponendo [tex]\nabla w= \mathbf{v}[/tex] , [tex]u=1[/tex] e sostituendo nella formula:
"dissonance":
[tex]$\int_\Omega \nabla u\ \cdot \mathbf{v}\ dV= \int_{\partial\Omega}u\ \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} dS - \int_{\Omega} u(\nabla \cdot \mathbf{v})\, dV[/tex]
ottengo
[tex]$\int_{\Omega} (\nabla \cdot \mathbf{v})\, dV = \int_{\partial\Omega} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\, dS[/tex] che equivale a
[tex]$\int_{\Omega} f(x,y,z), dV = \int_{\partial\Omega} \psi(x,y,z) dS[/tex]
ovvero l' integrale della densità del campo è uguale al flusso del campo attraverso [tex]\partial \Omega[/tex], corretto?
E se invece [tex]u=0[/tex], oppure in generale [tex]u \ne 0[/tex], qual' è il significato dal punto di vista fisico?
"gugo82":
[OT]
Unicità per il problema di Neumann?
Sei sicuro?
[/OT]
In effetti nella tesi del teorema si afferma che [tex]u_1 - u_2 = costante[/tex]
(dove [tex]u_1[/tex] e [tex]u_2[/tex] sono due soluzioni)
mi sarà sfuggito qualcosa?
edit: ho modificato questo, prima avevo cliccato invia per sbaglio
Eh, appunto... L'unicità (ammesso che sia soddisfatta una condizione di compatibilità sui dati, ovviamente) è a meno di una costante additiva.
"gugo82":
Eh, appunto... L'unicità (ammesso che sia soddisfatta una condizione di compatibilità sui dati, ovviamente) è a meno di una costante additiva.
Si ok.
Per 'condizione di compatibilità sui dati' intendi la condizione affinchè il problema sia ben posto?
Ripensandoci se [tex]u=0[/tex] si annulla tutto, quindi non c'è un senso.
Comunque mi potreste fare un esempio di problema di Neumann in cui non è soddisfatta la condizione di compatibilità sui dati?
Comunque mi potreste fare un esempio di problema di Neumann in cui non è soddisfatta la condizione di compatibilità sui dati?
Se non ricordo male, la condizione di compatibilità è:
[tex]$\int_{\Omega} f =\int_{\partial \Omega} \psi$[/tex]
(si ricava dalla formula di Gauss-Green prendendo [tex]$v=1$[/tex]); quindi basta scegliere [tex]$f,\psi$[/tex] in modo che non sia soddisfatta tale uguaglianza per ottenere un problema di Neumann che non può avere alcuna soluzione.
Ad esempio, il problema:
[tex]$\begin{cases} \Delta u =0 &\text{, in $B(o;1)$} \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} =1 &\text{, su $\partial B(o;1)$}\end{cases}$[/tex]
non ha soluzione, perchè la funzione [tex]$\psi(x)=1$[/tex] non ha integrale nullo su [tex]$\partial B(o;1)$[/tex].
[tex]$\int_{\Omega} f =\int_{\partial \Omega} \psi$[/tex]
(si ricava dalla formula di Gauss-Green prendendo [tex]$v=1$[/tex]); quindi basta scegliere [tex]$f,\psi$[/tex] in modo che non sia soddisfatta tale uguaglianza per ottenere un problema di Neumann che non può avere alcuna soluzione.
Ad esempio, il problema:
[tex]$\begin{cases} \Delta u =0 &\text{, in $B(o;1)$} \\ \frac{\partial u}{\partial \nu} =1 &\text{, su $\partial B(o;1)$}\end{cases}$[/tex]
non ha soluzione, perchè la funzione [tex]$\psi(x)=1$[/tex] non ha integrale nullo su [tex]$\partial B(o;1)$[/tex].
Ok, tutto chiaro adesso.
Grazie mille ad entrambi
Grazie mille ad entrambi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo