Identità di Eulero e conseguenze

[UmbertoM1]

Dall'identità di Eulero sappiamo che
$e^(ipi)=-1$
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene
$e^(2ipi)=+1$
$2ipi=ln(1)=0$
Infine dividendo per $2pi$
$i=0$
Il che non è possibile. Cosa c'è di sbagliato nei miei passaggi?

[Paolo902]

Affinché sia una funzione "normale" (o monodroma, come si dice di solito), il logaritmo di un numero complesso deve essere definito come $"Log" z := lnr+i\theta$, dove $ln(cdot)$ denota il solito logaritmo naturale e $r,theta$ sono univocamente determinati in modo che $z=re^{i\theta}$. Proprio per avere unicità del $theta$ si fissa un angolo $alpha$ (di solito $alpha=-pi$, che corrisponde al cosiddetto logaritmo principale) e si chiede che $theta$ stia in $(alpha, \alpha+2pi)$.

Nel tuo caso, l'argomento principale di $e^{2pi i}$ è ovviamente $0$ e così anche l'argomento principale di 1. Applicando il logaritmo principale ad ambo i membri, ottieni l'identità $0=0$.

Naturalmente, puoi facilmente verificare che ottieni sempre un'identità, indipendentemente dall'intervallo che fissi per l'argomento (basta che sia un intervallo di ampiezza $2pi$, insomma il piano meno una retta per l'origine, la maledetta linea di diramazione). E però devi considerare lo stesso intervallo per l'argomento: altrimenti stai considerando funzioni di fatto diverse ed ecco che succedono fenomeni "strani" come quello che hai mostrato tu.