Identità con differenziali

[giancarlo.web]

Potete spiegarmi SE è corretta questa identità, se è corretta anche una piccola dimostrazione.

\(\displaystyle f(x+dx)=f(x)+df(x) \)

Sul libro di meccanica delle strutture la da assolutamente per scontata e guardando sui libri di analisi e su internet non ho trovato nulla

[stormy1]

non è un'identità
il differenziale $df$ approssima $Deltaf=f(x+dx)-f(x)$
detto un po' meglio ,$Deltaf-df$ è un infinitesimo di ordine superiore all'ordine di $Deltax$ quando $Deltax rarr0 $
infatti,
$lim_(Deltax -> 0)(f(x+Deltax)-f(x)-f'(x)Deltax)/(Deltax)=lim_(Deltax -> 0)(f(x+Deltax)-f(x))/(Deltax)-f'(x)=0 $

[Epimenide93]

Esatto. Infatti quella formula, scritta così è sbagliata. Per la precisione, detta \(\sigma(x,{\rm d}x)\) una funzione tale che \(\lim_{{\rm d}x \to 0} \sigma(x,{\rm d}x) = 0\), si ha
\[
f(x + {\rm d}x) = f(x) + {\rm d}f(x) + {\rm d}x \ \sigma(x,{\rm d}x)
\]
in realtà la formula che il tuo testo usa è
\[
f(x + {\rm d}x) \approx f(x) + {\rm d}f(x).
\]

La dimostrazione è piuttosto semplice, ricordando la definizione di derivata e di differenziale si ha
\[
\begin{split}
\lim_{{\rm d}x \to 0} \frac{f(x + {\rm d}x) - f(x)}{{\rm d}x} &= f^{\prime}(x) \Longrightarrow \\
\ \\
\frac{f(x + {\rm d}x) - f(x)}{{\rm d}x} &= f^{\prime}(x) + \sigma(x,{\rm d}x) \Longrightarrow \\
\ \\
f(x + {\rm d}x) &= f(x) + {\rm d}f(x) + {\rm d}x \ \sigma(x,{\rm d}x) \Longrightarrow \\
\ \\
f(x + {\rm d}x) & \approx f(x) + {\rm d}f(x)
\end{split}
\]
che per \( {\rm d}x\) sufficientemente piccolo è una buona approssimazione.