\( I \subset \mathbb{R}\) limitato \( \implies \text{AC} (I) \subseteq \mathcal{C}^0 (\bar{I})\)
Definisco l'insieme delle funzioni assolutamente continue: \(\displaystyle \text{AC}(I):=\biggl\{ f \in \mathcal{C}^0 (I) \ | \ \exists g \in L^1 (I) \ : \ f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^{x}g(t) \text{d} t \quad \forall x,x_0 \in I \biggr\} \)
Ho trovato un esercizio che dice che
se $Isube RR$ è un intervallo limitato, allora \(\displaystyle f \in \text{AC}(I) \implies f \in \mathcal{C}^0 (\bar{I}) \), cioè $f$ è continua fin sul bordo.
Sia $I= (a,b)$ intervallo aperto (se $I$ è chiuso la dimostrazione è immediata, dalla definizione di $text{AC}(I)$).
Sia $(x_n)_n sube I$ successione crescente tale che $x_n -> b^-$. Bisogna dimostrare che esiste finito $lim_{n-> +oo} f(x_n)$
Fisso $x_0 in (a,b)$.
$f(x_n)= f(x_0)+int_{x_0}^(x_n) g(t) dt$ per ogni $n in NN$. Voglio dimostrare che $(f(x_n))_n $ è di Cauchy.
Fatto questo, poichè siamo in uno spazio completo, esisterà $l in barRR$ tale che $lim_{x->+oo} f(x_n)=l$.
Poichè $|f(x_n)|<= |f(x_0)|+||g||_1<+oo$, necessariamente $l in RR$.
Sia $m>n$. Allora $f(x_m)-f(x_n)= int_(x_n)^(x_m) g(t) dt$
Da qui ho qualche difficoltà nel procedere. Un aiutino?
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...
Ho trovato un esercizio che dice che
se $Isube RR$ è un intervallo limitato, allora \(\displaystyle f \in \text{AC}(I) \implies f \in \mathcal{C}^0 (\bar{I}) \), cioè $f$ è continua fin sul bordo.
Sia $I= (a,b)$ intervallo aperto (se $I$ è chiuso la dimostrazione è immediata, dalla definizione di $text{AC}(I)$).
Sia $(x_n)_n sube I$ successione crescente tale che $x_n -> b^-$. Bisogna dimostrare che esiste finito $lim_{n-> +oo} f(x_n)$
Fisso $x_0 in (a,b)$.
$f(x_n)= f(x_0)+int_{x_0}^(x_n) g(t) dt$ per ogni $n in NN$. Voglio dimostrare che $(f(x_n))_n $ è di Cauchy.
Fatto questo, poichè siamo in uno spazio completo, esisterà $l in barRR$ tale che $lim_{x->+oo} f(x_n)=l$.
Poichè $|f(x_n)|<= |f(x_0)|+||g||_1<+oo$, necessariamente $l in RR$.
Sia $m>n$. Allora $f(x_m)-f(x_n)= int_(x_n)^(x_m) g(t) dt$
Da qui ho qualche difficoltà nel procedere. Un aiutino?
Magari mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...
Risposte
Forse fai prima a dimostrare che $f$ è uniformemente continua.
Sì forse è una buona idea.
Solo che anche qui mi blocco:
fisso $epsilon>0$, devo scegliere $delta= delta(epsilon)>0$ opportuno tale che
$AA x,y in (a,b)$, $|x-y| |f(x)-f(y)|<= epsilon$
Supponiamo wlog $x
Forse possiamo dire che $g(t)*chi_J (t) in L^oo(a,b)$? (dove $J:=(x,y)$)
Solo che anche qui mi blocco:
fisso $epsilon>0$, devo scegliere $delta= delta(epsilon)>0$ opportuno tale che
$AA x,y in (a,b)$, $|x-y|
Supponiamo wlog $x
Forse possiamo dire che $g(t)*chi_J (t) in L^oo(a,b)$? (dove $J:=(x,y)$)
Hai visto il teorema sull'assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue? Se sì, hai finito; se no, in pratica lo devi dimostrare 
Ah, ecco. Questo risolve tutto.
Grazie Rigel, grazie dissonance
Grazie Rigel, grazie dissonance
Volevo aggiungere una cosa.
Se $I sube RR$ è un intervallo limitato, possiamo dire che $W^(1,1) (I) sube L^oo (barI)$
Infatti, presa $u in W^(1,1) (I)$, si ha che $u in AC(I)$ (modulo la relazione q.o.)
Dunque, per quanto appena detto, $u in ccC^0(barI)$, da cui $u in L^oo(barI)$.
Corretto?
Se $I sube RR$ è un intervallo limitato, possiamo dire che $W^(1,1) (I) sube L^oo (barI)$
Infatti, presa $u in W^(1,1) (I)$, si ha che $u in AC(I)$ (modulo la relazione q.o.)
Dunque, per quanto appena detto, $u in ccC^0(barI)$, da cui $u in L^oo(barI)$.
Corretto?
Si. Come abbiamo appena visto nell'altro topic, questo vale solo in dimensione 1, nel senso che $W^{1, n}(\mathbb{R}^n)$ non è immerso in $L^\infty$ se $n>1$. Il fatto è che in dimensione 2 o superiore uno non ha la formula
\[
f(x)=f(a)+\int_a^x f'(y)\, dy.\]
\[
f(x)=f(a)+\int_a^x f'(y)\, dy.\]
Grazie ancora
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