I - elevazione a potenza

[Sk_Anonymous]

Salve, mi sono imbattuto in un'elevazione a potenza di $i$ superiore al 2 ed allora ho effetuato alcune prove (di seguito illustrate) per vedere che criterio segue il risultato all'aumentare dell'esponente, spero mi possiate confermare l'esattezza dei risultati:

$i^0 = 1$

$i = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = (-1)(1)=-1$

$i^4 = (-1)(-1)=1$

$i^5 = (-1)(-1)(1)=1$

$i^6 = (-1)(-1)(-1)=-1$

$i^7 = (-1)(-1)(-1)(1)=-1$

$i^8 = (-1)(-1)(-1)(-1)=1$

$i^9 = (-1)(-1)(-1)(-1)(1)=1$

$i^10 = (-1)(-1)(-1)(-1)(-1)=-1$
...


ho effettuato abbastanza prove per poter affermare che i risultati vengono a due a due positivi e negativi in modo alternato.

spero in una conferma (o ho detto assurdità?)
Grazie, ciao

[dissonance]

E si purtroppo hai detto una assurdità. $i$ sarebbe un numero positivo? E $-i$ un numero negativo? Stai attento, sono errori grossi questi.

Comunque per vedere cosa succede prendendo le potenze di $i$ il modo migliore è quello grafico: rappresenta $i$ come un vettore sul piano complesso (piano di Gauss, piano di Argand, come vuoi chiamarlo) e osserva che moltiplicare un numero complesso per $i$ corrisponde all'effettuare una rotazione di $90°$ in senso antiorario. E' chiaro quindi che le potenze di $i$ saranno sempre i quattro numeri $-1, -i, 1, i$ e si ripeteranno ciclicamente.

[pater46]

Già.. senza contare che, in ogni caso, hai mancato di notare che $i^2 = -1$, che è credo una delle prime cose che viene spiegata nella teoria dei numeri complessi.

Notato questo, ti rendi conto che $i^4 = ( -1)^2 = 1$ e così via..

[Sk_Anonymous]

"dissonance":E si purtroppo hai detto una assurdità. $i$ sarebbe un numero positivo? E $-i$ un numero negativo? Stai attento, sono errori grossi questi.
...

"pater46":Già.. senza contare che, in ogni caso, hai mancato di notare che $i^2 = -1$, che è credo una delle prime cose che viene spiegata nella teoria dei numeri complessi.
Notato questo, ti rendi conto che $i^4 = ( -1)^2 = 1$ e così via..

Che idiota ! dal secondo rigo in poi ho fatto copia-incolla ed ho dimenticato di sostituire $i$ con $1$. Scusate, l'ho appena corretto.

ora dovrebbe essere esatto.
grazie, ciao

[itpareid]

"12Aquila":

$i^3 = (-1)(1)=-1$

non sono d'accordo

[Sk_Anonymous]

grazie per l'intervento,

"itpareid":[quote="12Aquila"]$i^3 = (-1)(1)=-1$

non sono d'accordo[/quote]

postresti spiegare come dovrebbe essere?

[pater46]

$i^3 = i^2 * i = (-1) * i = -i$

Non sottovalutare il consiglio di dissonance. Considerato che $i = e^(i pi/2)$, e la forma trigonometrica associata, nel piano $CC$ ogni elevazione al quadrato consiste appunto in una rotazione di $pi/2$ in senso antiorario. Con la forma trigonometrica lo puoi vedere anche matematicamente, utilizzando De Moivre.

[itpareid]

$i^3=i^2*i=(-1)*i=-i$

EDIT: anticipato

[Sk_Anonymous]

Grazie a tutti e tre, finalmente ho capito come procedere

quindi facendo due esempi:
$i^4=i^2* i^2=(-1)*(-1)=1$

$i^5=i^2 *i^2*i=(-1)*(-1)*i=i$

Grazie Mille, ciao