I diversi tipi di Serie
Ciao!
Nello studiare le serie non ho capito bene la definizione di serie telescopiche e armoniche, il mio libro purtroppo fà solo degli esempi e non dà una definizione precisa di queste serie.
Non è che potresti darmi qualche link o chiarimento a riguardo ?
il libro dà come esempio per serie telescopica questa serie:
$sum_{n=1}^{oo} 1 / [n(n+1)] = 1$
ma non ho capito il criterio di risoluzione ne le caratteristiche che mi portano a dire che è telescopica.
Nello studiare le serie non ho capito bene la definizione di serie telescopiche e armoniche, il mio libro purtroppo fà solo degli esempi e non dà una definizione precisa di queste serie.
Non è che potresti darmi qualche link o chiarimento a riguardo ?
il libro dà come esempio per serie telescopica questa serie:
$sum_{n=1}^{oo} 1 / [n(n+1)] = 1$
ma non ho capito il criterio di risoluzione ne le caratteristiche che mi portano a dire che è telescopica.
Risposte
Per capire il perché la serie…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+1))$ (1)
... è detta 'telescopica' è sufficiente sviluppare il termine generale il questo modo…
$1/(n(n+1))= 1/n –1/(n+1)$ (2)
Sviluppando la (1) tenendo conto della (2) si ha…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+1))$ = 1-1/2+1/2- 1/3+1/3... = 1 (3)
cordiali saluti
lupo grigio
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+1))$ (1)
... è detta 'telescopica' è sufficiente sviluppare il termine generale il questo modo…
$1/(n(n+1))= 1/n –1/(n+1)$ (2)
Sviluppando la (1) tenendo conto della (2) si ha…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+1))$ = 1-1/2+1/2- 1/3+1/3... = 1 (3)
cordiali saluti
lupo grigio
Si ok!
MA la risoluzione l'avevo capita solo che io non ho capito la "definizione" di serie telescopica.
Cioè sono tutte del tipo:
$sum_{n=1}^{oo} 1 / [n(n+1)] = 1$
???
MA la risoluzione l'avevo capita solo che io non ho capito la "definizione" di serie telescopica.
Cioè sono tutte del tipo:
$sum_{n=1}^{oo} 1 / [n(n+1)] = 1$
???
Un caso un poco più generale di ‘serie a cannocchiale’ consiste in…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+k))$ (1)
… con k intero. E’ facile vedere che la (1) è convergente poiché il termine generale va a zero come $1/n^2$. Tuttavia la convergenza è così lenta che l’approccio ‘brutale’ [effettuando cioè direttamente la somma di un ‘gran numero’ di termini della (1)…] è in pratica infattibile. In questo caso per fortuna un piccolo trucco semplifica enormemente la vita. Sfruttando l’identità…
$1/(n(n+k))$=$1/k (1/n-1/(n+k))$ (2)
… si può scrivere la somma dei primi m termini della (1) nel modo seguente…
$sum_(n=1)^m 1/(n(n+k)$ = $1/k (1+1/2+…+1/k –1/(m+1)-1/(m+2)-…-1/(m+k))$ (3)
Il limite per m-> +oo della (3) consente il calcolo della (1)…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+k)$ = $1/k (1+1/2+…+1/k)$ (4)
Semplice, non è vero?…
cordiali saluti
lupo grigio
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+k))$ (1)
… con k intero. E’ facile vedere che la (1) è convergente poiché il termine generale va a zero come $1/n^2$. Tuttavia la convergenza è così lenta che l’approccio ‘brutale’ [effettuando cioè direttamente la somma di un ‘gran numero’ di termini della (1)…] è in pratica infattibile. In questo caso per fortuna un piccolo trucco semplifica enormemente la vita. Sfruttando l’identità…
$1/(n(n+k))$=$1/k (1/n-1/(n+k))$ (2)
… si può scrivere la somma dei primi m termini della (1) nel modo seguente…
$sum_(n=1)^m 1/(n(n+k)$ = $1/k (1+1/2+…+1/k –1/(m+1)-1/(m+2)-…-1/(m+k))$ (3)
Il limite per m-> +oo della (3) consente il calcolo della (1)…
$sum_(n=1)^(+oo) 1/(n(n+k)$ = $1/k (1+1/2+…+1/k)$ (4)
Semplice, non è vero?…
cordiali saluti
lupo grigio
Grazie "zanna bianca" ! 
Beh si diciamo che è abbastanza facile, almento per te ......, fra un pò forse anche per me.
CIAO!
Beh si diciamo che è abbastanza facile, almento per te ......, fra un pò forse anche per me.
CIAO!
Mi sareste dire come si arriva ad affermare che questo:
1/(n(n+k))$=$1/k (1/n-1/(n+k))$ (2)
è valido, .... ovviamente oltre che calcolare ogni singolo $s_n$ di ogni serie .
1/(n(n+k))$=$1/k (1/n-1/(n+k))$ (2)
è valido, .... ovviamente oltre che calcolare ogni singolo $s_n$ di ogni serie .
Rifaccio al domanda che non si capisce niente.....
Mi sareste dire come si arriva ad affermare che questo:
$1/(n(n+k))=1/k (1/n-1/(n+k)) $
è valido, .... ovviamente oltre che calcolare ogni singolo sn di ogni serie .
Mi sareste dire come si arriva ad affermare che questo:
$1/(n(n+k))=1/k (1/n-1/(n+k)) $
è valido, .... ovviamente oltre che calcolare ogni singolo sn di ogni serie .
Basta fare un po' di conti e si verifica che:
$1/k (1/n-1/(n+k)) = 1/(n(n+k)) $
(si mette tutto a denominatore comune e si fanno i conti)
Altrimenti puoi cercare le soluzioni $A$ e $B$ di:
$ 1/k ( A/n + B/(n+k) ) = 1 /(n(n+k)) $
E si vede subito che:
$ [(A),(B)]=[(1),(-1)] $
Infatti:
$ 1/k ( A/n + B/(n+k) ) = ((n+k)A+nB)/(kn(n+k)) $
$1/k (1/n-1/(n+k)) = 1/(n(n+k)) $
(si mette tutto a denominatore comune e si fanno i conti)
Altrimenti puoi cercare le soluzioni $A$ e $B$ di:
$ 1/k ( A/n + B/(n+k) ) = 1 /(n(n+k)) $
E si vede subito che:
$ [(A),(B)]=[(1),(-1)] $
Infatti:
$ 1/k ( A/n + B/(n+k) ) = ((n+k)A+nB)/(kn(n+k)) $
Ok ma avevo capito che l'equazione era valida.
Io volevo invece sapere come si può arrivare matematicamente dalla forma $1/(n(n+k))$ all'altra forma $1/k ( 1/n + 1/(n+k) )$
Capito ?
CIAO!
Io volevo invece sapere come si può arrivare matematicamente dalla forma $1/(n(n+k))$ all'altra forma $1/k ( 1/n + 1/(n+k) )$
Capito ?
CIAO!
Ehm ..... ho sbagliato segno per la seconda che ho scritto infatto è $1/k ( 1/n - 1/(n+k) )$
Lo vedi che succede quando ricopi dagli altri....
...l'ho copiata da te.
Lo vedi che succede quando ricopi dagli altri....
...l'ho copiata da te.
Beh in pratica tu lo scrivi nella seconda forma con gli A e B generici e poi te li ricavi in modo che valga l'uguaglianza. E' un'equazione di primo grado in 2 incognite. Ti basta trovare 1a soluzione... (ovviamente o sono infinite o non ci sono)
Presa una successione x_k di valori vale sempre:
Sum [i=1-->n] x_(k+1) - x_k = x_(n+1) - x_1
la verifica è facile.
In particolare se in un esercizio riesci ad esprimerti il termine a_n come differenza di due termini di una medesima successione conosciuta sei a posto. Prova a farlo al contrario... prendi una successione conociuta e scrivilo come telescopica!
Poi naturalmente ogni esercizio può essere diverso...
Sum [i=1-->n] x_(k+1) - x_k = x_(n+1) - x_1
la verifica è facile.
In particolare se in un esercizio riesci ad esprimerti il termine a_n come differenza di due termini di una medesima successione conosciuta sei a posto. Prova a farlo al contrario... prendi una successione conociuta e scrivilo come telescopica!
Poi naturalmente ogni esercizio può essere diverso...
Forse così si vede meglio.... mi permetto di riscriverlo....
Presa una successione $x_k$ di valori vale sempre:
$sum [i=1-->n] x_(k+1) - x_k = x_(n+1) - x_1$
Grazie Ragazzi!
Ma le matrici le stà facendo quest'anno con algebra e ...non ci crederete, non le avevo mai studiate.
Apparte qualcosina in 3° superiore sul metodo di Cramer o Ruffini non ricorda ma ormai sono ricordi di "infanzia".
Comunque ci darò un occhiata non appena avro capito meglio i sistemi di equazioni e le matrici.
Presa una successione $x_k$ di valori vale sempre:
$sum [i=1-->n] x_(k+1) - x_k = x_(n+1) - x_1$
Grazie Ragazzi!
Ma le matrici le stà facendo quest'anno con algebra e ...non ci crederete, non le avevo mai studiate.
Apparte qualcosina in 3° superiore sul metodo di Cramer o Ruffini non ricorda ma ormai sono ricordi di "infanzia".
Comunque ci darò un occhiata non appena avro capito meglio i sistemi di equazioni e le matrici.
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