Ho un dubbio sui punti di max relativo di f a più variabili

[roses2]

Io so che per determinare i punti di max e min relativo ho diverse condizioni necessarie e sufficienti. Solo che non capisco una cosa. Ho che la condizione necessaria di 1o ordine è che la derivata prima (parlo al singolare per riferirmi al gradiente) dev'essere uguale a 0. La condizione necesaaria di 2o ordine è che la matrice hessiana nel punto sia semidefinita negativa. Poi nei miei appunti ho un altra condizione detta sufficiente in cui dopo una dimostrazione, si arriva sempre alla conclusione che se la matrice hessiana è definita negativa nel punto allora quello è un punto di max relativo...ma allora che differenza c'è tra quella del 2o ordine necessaria e quella sufficiente?
Per caso intende che quella condizione (cioè H(x*)<=0) è sia necessaria che sufficiente? Ma allora secondo voi perchè la prof a lezione la dimostrazione l'ha fatta due volte?

[Quinzio]

Il gradiente deve essere il vettore zero.
L'Hessiana deve essere definita positiva.
Se è ad autovalori positivi siamo in presenza di un minimo, se gli autovalori sono negativi abbiamo un massimo.