Ho sbagliato la dimostrazione?!?

[gygabyte017]

L'esercizio è: dimostrare per induzione che $MCD(F_(n+1),F_n)=1$, dove per $F_n$ si intende la successione di Fibonacci.

Allora io ho fatto:
1) Base dell'induzione: se $n=1$, $MCD(F_2,F_1)=MCD(1,1)=1$ che è vera.
2) Ipotesi induttiva: se $MCD(F_(n+1),F_n)=1 \quad=>\quad MCD(F_(n+2),F_(n+1))=1$ ???
Poiche $MCD(F_(n+1),F_n)=1$, allora se per caso esiste un $d$ che divide sia $F_(n+1)$ che $F_n$, allora $d$ è sicuramente uguale a $1$ ($EEd |" " d//F_(n+1) " e " d//F_n => d=1$). $"(***)"$
Vogliamo dimostrare che $MCD(F_(n+2),F_(n+1))=1$, cioè, essendo $F_(n+2)=F_(n+1)+F_n$, che $MCD(F_(n+1),F_(n+1)+F_n)=1$.
Ora, se per assurdo $MCD(F_(n+1),F_(n+1)+F_n)!=1$, allora esisterebbe un $d!=1$ che divide sia $F_(n+1)$ che $F_(n+1)+F_n$.
Ma se $d$ divide $F_(n+1)+F_n$, allora $d$ divide $F_(n+1)$ e $F_n$, e ciò è assurdo, perchè per la $"(***)"$, $d$ deve essere per forza $d=1$.


Ora, tutto questo ragionamento fino a ieri mi pareva logico , ma stamattina m'è venuto un dubbio enorme: chiamiamo per praticità $a=F_(n+1)$ e $b=F_n$; ma è vero che se $d // a+b \quad=>\quad d // a$ e $d // b$ ???? (evidenziato in rosso nella dimostrazione)

Sono sicuro del contrario, che se $d // a$ e $d // b \quad=>\quad d // a+b$, perchè se $d // a$ allora $a/d=p =>a=dp$ e se $d // b$ allora $b/d=q => b=dq$, e quindi $a+b=dp+dq=d(p+q)$ ed è ovvio che $d // d(p+q)$.

Ma il contrario?? è vero o no?! E se no come dovrei modificare la dimostrazione?

Grazie!!

[TomSawyer1]

Non ho letto la dimostrazione, perché se assumi che $(f_{n+1},f_n)=1$, allora $(f_{n+1},f_{n+2})=(f_{n+1},f_n+f_{n+1})=(f_{n+1},f_n)=1$.

[gygabyte017]

"TomSawyer":Non ho letto la dimostrazione, perché se assumi che $(f_{n+1},f_n)=1$, allora $(f_{n+1},f_{n+2})=(f_{n+1},f_n+f_{n+1})=(f_{n+1},f_n)=1$.

Sucsa ma perchè $(f_{n+1},f_n+f_{n+1})=(f_{n+1},f_n)$ ???

[TomSawyer1]

Per il fatto che banalmente $(a,b)=(a,b-a)$.