Ho fatto giusto ? [ dubbi soluzioni Analisi 3]
Buonasera ragazzi, continuo a fare esercizi ma non avendo le soluzioni non so se ho ragionato nel modo corretto. Potete vedere se i miei risultati sono giusti?
1) Calcolare il volume di $ A={ (x,y,z)in R^3 : x^2+y^2<=1, z>= x^2+y^2 -1 ,x+y+z<=2 } $ .
Quindi il mio volume è dato dall'intersezione di un cilindro,paraboloide e un piano giusto? Ho pensato di integrare a strati così : $ int_()^() int_()^() dx dxy ( int_(x^2+y^2-1)^(2-x-y) dz $
Una volta risolto l'integrale più esterno, passo in coordinate polari e ottengo : $ int_(0)^(2pi ) int_(0)^(1) r^2cosvartheta +r^2senvartheta +r^3+3r drdvartheta $
Risultato finale : (3/4) pigreco . Giusto?
2) Calcolare il volume $ D={(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2<=9 , z>=sqrt(x^2+y^2) } $
Ovvero è l'intersezione di una sfera di raggio 3 e un cono. Uso le coordinate sferiche ( e qua ho i miei dubbi) : io ho ottenuto $ 0<=r<=3 , pi /4<= vartheta <= 3/4pi ,0<=varphi <=2pi $ . Ho usato tali coordinate deducendole dal disegno del dominio ma non ne sono sicurissimo!
Risolvo l'integrale triplo e ottengo : 18 $ pi $ $ sqrt2 $ . Corretto?
Sempre in tale esercizio mi si chiede di calcolare la divergenza del campo F(x,y,z) = 6x -5 + 2z. Io ho ottenuto 3.
Alla fine mi viene chiesto di calcolare il flusso uscento dal volume. Io applicando il teorema della divergenza, ho dedotto semplicemente che è 3x volume ottenuto prima no ?
3) Questo mi ha fatto veramente penare e penso di non averlo risolto correttamente :/
Data la superficie E = $ { (x,y,z)inR^3 : 1<=z<=2, z^2(x^2+y^2)=1} $
- Parametrizzare la superficie : è una superficie ha forma di grafico giusto? Z= f(x,y) e io quindi l'ho parametrizzata cosi
r(u,v) = u (i) + v(j) + $ 1/sqrt(u^2 +v^2 $ (k)
- Mi si chiede di trovare il versore normale esterno nel punto ( 2/3, 0 , 3/2).
Qui vado nel panico perchè ottengo dei valori mostruosi di dr/du e dr/dv. Mi aiutate in questo punto ?
Grazie mille a tutti, sto cercando di aiutare anche io nel forum perchè capisco quanto possa essere importante!
1) Calcolare il volume di $ A={ (x,y,z)in R^3 : x^2+y^2<=1, z>= x^2+y^2 -1 ,x+y+z<=2 } $ .
Quindi il mio volume è dato dall'intersezione di un cilindro,paraboloide e un piano giusto? Ho pensato di integrare a strati così : $ int_()^() int_()^() dx dxy ( int_(x^2+y^2-1)^(2-x-y) dz $
Una volta risolto l'integrale più esterno, passo in coordinate polari e ottengo : $ int_(0)^(2pi ) int_(0)^(1) r^2cosvartheta +r^2senvartheta +r^3+3r drdvartheta $
Risultato finale : (3/4) pigreco . Giusto?
2) Calcolare il volume $ D={(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2<=9 , z>=sqrt(x^2+y^2) } $
Ovvero è l'intersezione di una sfera di raggio 3 e un cono. Uso le coordinate sferiche ( e qua ho i miei dubbi) : io ho ottenuto $ 0<=r<=3 , pi /4<= vartheta <= 3/4pi ,0<=varphi <=2pi $ . Ho usato tali coordinate deducendole dal disegno del dominio ma non ne sono sicurissimo!
Risolvo l'integrale triplo e ottengo : 18 $ pi $ $ sqrt2 $ . Corretto?
Sempre in tale esercizio mi si chiede di calcolare la divergenza del campo F(x,y,z) = 6x -5 + 2z. Io ho ottenuto 3.
Alla fine mi viene chiesto di calcolare il flusso uscento dal volume. Io applicando il teorema della divergenza, ho dedotto semplicemente che è 3x volume ottenuto prima no ?
3) Questo mi ha fatto veramente penare e penso di non averlo risolto correttamente :/
Data la superficie E = $ { (x,y,z)inR^3 : 1<=z<=2, z^2(x^2+y^2)=1} $
- Parametrizzare la superficie : è una superficie ha forma di grafico giusto? Z= f(x,y) e io quindi l'ho parametrizzata cosi
r(u,v) = u (i) + v(j) + $ 1/sqrt(u^2 +v^2 $ (k)
- Mi si chiede di trovare il versore normale esterno nel punto ( 2/3, 0 , 3/2).
Qui vado nel panico perchè ottengo dei valori mostruosi di dr/du e dr/dv. Mi aiutate in questo punto ?
Grazie mille a tutti, sto cercando di aiutare anche io nel forum perchè capisco quanto possa essere importante!
Risposte
Per il primo esercizio, mi sembra ok (non ho guardato i conti)..
ma sul secondo esercizio..
sei sicuro che è $z\geq \sqrt(x^2+y^2)$ e non $z\leq \sqrt(x^2+y^2)$ ?
perché mi pare strano che per il cono devi considerare la sua parte interna..
semai è l'interno della sfera (e questo è ok) e però con il cono devi considerare la sua parte esterna..
in poche parole..se vedi l'immagine dall'alto, vedi una ciambella..
Sennò se il testo dell'esercizio fosse esatto..che ragionamenti hai fatto per avere $pi /4<= vartheta <= 3/4pi $ ?
sono curioso..
ma sul secondo esercizio..
"lecter@91":
2) Calcolare il volume $ D={(x,y,z)inR^3: x^2+y^2+z^2<=9 , z>=sqrt(x^2+y^2) } $
Ovvero è l'intersezione di una sfera di raggio 3 e un cono. Uso le coordinate sferiche ( e qua ho i miei dubbi) : io ho ottenuto $ 0<=r<=3 , pi /4<= vartheta <= 3/4pi ,0<=varphi <=2pi $ . Ho usato tali coordinate deducendole dal disegno del dominio ma non ne sono sicurissimo!
Risolvo l'integrale triplo e ottengo : 18 $ pi $ $ sqrt2 $ . Corretto?
sei sicuro che è $z\geq \sqrt(x^2+y^2)$ e non $z\leq \sqrt(x^2+y^2)$ ?
perché mi pare strano che per il cono devi considerare la sua parte interna..
semai è l'interno della sfera (e questo è ok) e però con il cono devi considerare la sua parte esterna..
in poche parole..se vedi l'immagine dall'alto, vedi una ciambella..
Sennò se il testo dell'esercizio fosse esatto..che ragionamenti hai fatto per avere $pi /4<= vartheta <= 3/4pi $ ?
sono curioso..
Purtroppo il testo è proprio così!!!! Sinceramente ero partito spedito senza guardare troppo i segni
Se ho quindi <= considero solo il cerchio dato da xy del cono, se ho >= cosa cambia?
Se ho quindi <= considero solo il cerchio dato da xy del cono, se ho >= cosa cambia?
"lecter@91":
Purtroppo il testo è proprio così!!!! Sinceramente ero partito spedito senza guardare troppo i segni
Se ho quindi <= considero solo il cerchio dato da xy del cono, se ho >= cosa cambia?
Se hai
$ z\leq \sqrt(x^2+y^2)\to z^2\leq x^2+y^2\to -x^2-y^2+z^2\leq 0\to x^2+y^2-z^2\geq 0 $
e cioè questa $x^2+y^2-z^2\geq 0$ è la parte esterna del cono
mentre nel tuo caso è $ z\geq \sqrt(x^2+y^2) $
noterai che è così .. $ x^2+y^2-z^2\leq 0 $ parte interna del cono..
Capisci che se hai come nel tuo caso $z\geq \sqrt(x^2+y^2)$, con anche la sfera unitaria (sempre parte interna)
ed è per questo che pensavo che il testo dell'esercizio fosse sbagliato..
Ma visto che il testo è così.. mi puoi scrivere i tuoi ragionamenti che hai fatto?.. per curiosità..
soprattutto con gli angoli quello tra $\pi/4$ e $3/4\pi$
Visto che mi dici che il testo è giusto così.. il mio ragionamento
$ { ( x=\rho\sin\phicos\theta ),( y=\rho\sin\phi\sin\theta ),( z=\rho\cos\phi ):} $
$ |det Jac|=\rho^2\sin\phi $
poi $ \theta\in [0,2\pi] $ , $ \rho \in[0,3] $
poi da qui $ z\geq \sqrt(x^2+y^2) $ con le sostituzioni e i calcoli.. arrivo a $ \cos\phi\geq \sin\phi $
quindi si ha $ 1\geq (\sin \phi)/(\cos \phi)\to 1\geq tan\phi\to \tan\phi\leq 1 \to \phi leq \pi/4 $
quindi io concluderei che $ 0\leq \phi \leq \pi/4 $
tu l'angolo invece di chiamarlo $\phi$ l'hai chiamato $\vartheta $ .. ma è lo stesso.. puoi chiamarlo come vuoi..
bello questo esercizio..mi interessa
Io per gli angoli ho ragionato attraverso il disegno! Cioè dovrebbe essere così giusto? ( vedi allegato )
Se devo guardare il volume della parte interna tra cono e sfera l'angolo va da $ pi /4 <=vartheta <= 5/4 pi $ ?
Se devo guardare il volume della parte interna tra cono e sfera l'angolo va da $ pi /4 <=vartheta <= 5/4 pi $ ?
"lecter@91":
Io per gli angoli ho ragionato attraverso il disegno! Cioè dovrebbe essere così giusto? ( vedi allegato )
Se devo guardare il volume della parte interna tra cono e sfera l'angolo va da $ pi /4 <=vartheta <= 5/4 pi $ ?
attenzione che secondo i calcoli (che ho fatto sopra), cioè ti ho detto il mio ragionamento
arrivi a
$ \cos\phi\geq \sin\phi\to 1\geq (\sinphi)/(\cos\phi)\to 1\geq tan\phi \to \tan\phi\leq 1 $
nell'ultimo passaggio ho solo invertito la diseguaglianza.. e ottengo che $ \phi \leq \pi/4 $
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