Ho bisogno di aiuto per piacere!
salve a tutti ragazzi, ho bisogno di fa luce su alcuni argomenti di analisi:
1) in un esercizio mi si chiede di trovare la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione differenziale a variabili separabili
$\{(y^I=e^y/e^(8x)) , (y(0)=2):}$
dove $\y=y(x)$ è una funzione incognita dipendente dalla variabile $\x in RR$.
Detto $\]alpha, beta[$ l'intervallo massimo di esistenza della funzione $\y(x)$, si trovino i valori $\alpha, beta$ e si calcolino i limiti:
$\lim_(x-> alpha^+) y(x)$ e $\lim_(x->beta^-) y(x)$
la mia risoluzione è:
$\dy/dx=(e^y)/(e^8x)$
$\int 1/(e^y)dy = int 1/(e^8x) dx$
quindi:
$\int e^(-y)dy=int e^(-8x)dx$
e ottengo in questo modo:
$\-e^(-y)=-1/8e^(-8x)+c$
ora cerco di ricavarmi la $\c$
$\c=-e^(-y)+1/8e^(-8x)$
sostituisco $\0$ alla x e $\2$ alla y
$\c=-1/(e^2)+1/8$
ora riscrivo l'equazione
$\e^(-y)=1/8e^(-8x)-c$
ricavo la $\y(x)$
$\-y(x)=ln(1/8e^(-8x)-c)$
$\y(x)=-ln(1/8e^(-8x)-c)$
adesso pongo l'argomento del logaritmo maggiore di zero
$\1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8>0$
$\1/8e^(-8x)>-1/(e^2)+1/8$
$\e^(-8x)>-8/(e^2)+1$
$\-8x>ln(-8/e^2+1)$
$\8x<-ln(-8/e^2+1)$
$\x<-1/8ln(-8/(e^2)+1)$
e questo sarebbe il mio risultato finale... che sembra, ma non credo sia giusto.
ad ogni modo continuo la richiesta e faccio i limiti...
visto che l'intervallo trovato in precedenza risulta essere minore di zero, un estremo è $\-infty$
quindi faccio il mio bel limite
$\lim_(x->-infty) -ln(1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8) = lim_(x->-infty) -ln(+infty) = -infty$
poi l'altro estremo per continuità lo faccio per il suo opposto:
$\lim_(x->+infty) -ln(1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8) = lim_(x->+infty) -ln(0,0103)$ che è un numero: 4,57
ora per piacere aiutatemi, mi sento nell'oblio più profondo!
1) in un esercizio mi si chiede di trovare la soluzione del problema di Cauchy per l'equazione differenziale a variabili separabili
$\{(y^I=e^y/e^(8x)) , (y(0)=2):}$
dove $\y=y(x)$ è una funzione incognita dipendente dalla variabile $\x in RR$.
Detto $\]alpha, beta[$ l'intervallo massimo di esistenza della funzione $\y(x)$, si trovino i valori $\alpha, beta$ e si calcolino i limiti:
$\lim_(x-> alpha^+) y(x)$ e $\lim_(x->beta^-) y(x)$
la mia risoluzione è:
$\dy/dx=(e^y)/(e^8x)$
$\int 1/(e^y)dy = int 1/(e^8x) dx$
quindi:
$\int e^(-y)dy=int e^(-8x)dx$
e ottengo in questo modo:
$\-e^(-y)=-1/8e^(-8x)+c$
ora cerco di ricavarmi la $\c$
$\c=-e^(-y)+1/8e^(-8x)$
sostituisco $\0$ alla x e $\2$ alla y
$\c=-1/(e^2)+1/8$
ora riscrivo l'equazione
$\e^(-y)=1/8e^(-8x)-c$
ricavo la $\y(x)$
$\-y(x)=ln(1/8e^(-8x)-c)$
$\y(x)=-ln(1/8e^(-8x)-c)$
adesso pongo l'argomento del logaritmo maggiore di zero
$\1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8>0$
$\1/8e^(-8x)>-1/(e^2)+1/8$
$\e^(-8x)>-8/(e^2)+1$
$\-8x>ln(-8/e^2+1)$
$\8x<-ln(-8/e^2+1)$
$\x<-1/8ln(-8/(e^2)+1)$
e questo sarebbe il mio risultato finale... che sembra, ma non credo sia giusto.
ad ogni modo continuo la richiesta e faccio i limiti...
visto che l'intervallo trovato in precedenza risulta essere minore di zero, un estremo è $\-infty$
quindi faccio il mio bel limite
$\lim_(x->-infty) -ln(1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8) = lim_(x->-infty) -ln(+infty) = -infty$
poi l'altro estremo per continuità lo faccio per il suo opposto:
$\lim_(x->+infty) -ln(1/8e^(-8x)+1/(e^2)-1/8) = lim_(x->+infty) -ln(0,0103)$ che è un numero: 4,57
ora per piacere aiutatemi, mi sento nell'oblio più profondo!
Risposte
Ciao, io farei così:
\(\displaystyle \int \frac{1}{e^y}\, dy=\int \frac{1}{e^{8x}}\, dx \)
\(\displaystyle -e^{-y} = \frac{1}{8} e^{-8x} +c \)
Da cui moltiplicando ambo i membri per -1 e applicando il log ad ambo i membri:
\(\displaystyle y=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right ) \)
Imponendo la condizione del Pdc ricavi facilmente il valore di c:
\(\displaystyle y(0)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right )=0 \)
\(\displaystyle c=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8} \)
Da cui l'unica soluzione del Pdc:
\(\displaystyle y(x)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8}\right ) \)
Osserva che la soluzione è unica e definita in tutto R quindi i limiti dovrebbero essere:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}y(x)=4.57 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}y(x)=-\infty \)
Non capisco che difficoltà hai incontrato
\(\displaystyle \int \frac{1}{e^y}\, dy=\int \frac{1}{e^{8x}}\, dx \)
\(\displaystyle -e^{-y} = \frac{1}{8} e^{-8x} +c \)
Da cui moltiplicando ambo i membri per -1 e applicando il log ad ambo i membri:
\(\displaystyle y=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right ) \)
Imponendo la condizione del Pdc ricavi facilmente il valore di c:
\(\displaystyle y(0)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right )=0 \)
\(\displaystyle c=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8} \)
Da cui l'unica soluzione del Pdc:
\(\displaystyle y(x)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8}\right ) \)
Osserva che la soluzione è unica e definita in tutto R quindi i limiti dovrebbero essere:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}y(x)=4.57 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}y(x)=-\infty \)
Non capisco che difficoltà hai incontrato
"Carlo95":
Ciao, io farei così:
\(\displaystyle \int \frac{1}{e^y}\, dy=\int \frac{1}{e^{8x}}\, dx \)
\(\displaystyle -e^{-y} = \frac{1}{8} e^{-8x} +c \)
Da cui moltiplicando ambo i membri per -1 e applicando il log ad ambo i membri:
\(\displaystyle y=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right ) \)
Imponendo la condizione del Pdc ricavi facilmente il valore di c:
\(\displaystyle y(0)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+c\right )=0 \)
\(\displaystyle c=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8} \)
Da cui l'unica soluzione del Pdc:
\(\displaystyle y(x)=-log \left( \frac{e^{-8x}}{8}+\frac{1}{e^2}-\frac{1}{8}\right ) \)
Osserva che la soluzione è unica e definita in tutto R quindi i limiti dovrebbero essere:
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}y(x)=4.57 \)
\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}y(x)=-\infty \)
Non capisco che difficoltà hai incontrato
ma quindi ho svolto correttamente?
Direi di si, hai svolto l'esercizio "by the book" e penso ti siano venuti anche i conti. Magari lo hai fatto meccanicamente senza davvero capire, ma a quello non possiamo rimediare qui.
il problema è che ad un certo punto del mio svolgimento, ho trovato la $\x<-1/8ln(-8/(e^2)+1)$, e se svolgo i calcoli ottengo un argomento del logaritmo negativo, ma ciò è impossibile, dunque, di fronte a questo errore mi chiedevo se ci fossero dei rivolti negativi in una possibile correzione dell'esercizio da parte di un professore di analisi
Dai una occhiata qui http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htm (specialmente al file sulle variabili separabili).
giovi cambia il titolo con qualcosa di più specifico per piacere
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