Hessina di un funzionale
È lecito calcolare la matrice hessiana di un funzionale del tipo $F(x,f(x),f'(x))$ come
$$\mathbf{H}F = \begin{bmatrix}
F_{ff} & F_{ff'}\\
F_{f'f} & F_{f'f'}
\end{bmatrix}$$
e poi studiarla per determinare la convessità?
$$\mathbf{H}F = \begin{bmatrix}
F_{ff} & F_{ff'}\\
F_{f'f} & F_{f'f'}
\end{bmatrix}$$
e poi studiarla per determinare la convessità?
Risposte
Nota: ho iniziato a scrivere una risposta, poi mi sono accorto che era incompleta e che per rispondere come si deve dovrei prima leggermi qualcosa io. Siccome non ho il tempo di farlo adesso, oscuro la risposta e lascio un link a un libro dove sicuramente c'è la risposta alla tua domanda:
https://books.google.es/books?id=4hIq6E ... on&f=false
[ot]
Non mi risulta che ci siano leggi che lo impediscano. (Sono contrario all'uso del termine "lecito" in matematica, a mio parere uno dovrebbe dire "corretto", comunque sono opinioni).
A parte questo dettaglio, immagino la domanda sia: è vero che se la matrice che hai scritto è definita positiva allora il funzionale è convesso? La risposta è genericamente "si", però bisogna metterci i dettagli tecnici e mi sembra che non siano banalissimi. Per prima cosa, il funzionale deve essere definito in un prodotto cartesiano: \( F\colon U\times H\times K\to \mathbb R\) dove \(H, K\) sono spazi di Hilbert e \(U\) è un aperto di \(\mathbb R^n\), e deve essere continuo, differenziabile etc etc...
Una volta che questi dettagli saranno al loro posto, fissando due coppie di funzioni \( (f_0, f'_0), (f_1, f'_1)\) e considerando la funzione ausiliaria
\[
G(\theta) = F(x, (1-\theta)f_0(x)+\theta f_1(x), (1-\theta)f'_0(x)+\theta f'_1(x))\]
potrai dimostrare che se la matrice che hai scritto è definita positiva allora la funzione \(G\) ha la derivata seconda ovunque positiva e quindi è convessa.
Scrivendo scrivendo mi rendo conto che c'è un dettaglio difficile: la matrice \(HF\) deve essere definita positiva *rispetto alla norma di \(H\times K\)*, ovvero, deve esistere una costante \(C>0\) tale che, per ogni \((f, f')\in H\times K\) e ogni \((h, h')\in H\times K\), deve essere vero che
\[
\begin{bmatrix} h & h' \end{bmatrix} HF(f, f') \begin{bmatrix} h \\ h'\end{bmatrix} \ge c (\|h\|_H^2+\|h'\|_K^2).\]
Questa mi sembra una condizione piuttosto difficile da verificare in pratica.[/ot]
https://books.google.es/books?id=4hIq6E ... on&f=false
[ot]
è *lecito* calcolare la matrice hessiana [...]
Non mi risulta che ci siano leggi che lo impediscano. (Sono contrario all'uso del termine "lecito" in matematica, a mio parere uno dovrebbe dire "corretto", comunque sono opinioni).
A parte questo dettaglio, immagino la domanda sia: è vero che se la matrice che hai scritto è definita positiva allora il funzionale è convesso? La risposta è genericamente "si", però bisogna metterci i dettagli tecnici e mi sembra che non siano banalissimi. Per prima cosa, il funzionale deve essere definito in un prodotto cartesiano: \( F\colon U\times H\times K\to \mathbb R\) dove \(H, K\) sono spazi di Hilbert e \(U\) è un aperto di \(\mathbb R^n\), e deve essere continuo, differenziabile etc etc...
Una volta che questi dettagli saranno al loro posto, fissando due coppie di funzioni \( (f_0, f'_0), (f_1, f'_1)\) e considerando la funzione ausiliaria
\[
G(\theta) = F(x, (1-\theta)f_0(x)+\theta f_1(x), (1-\theta)f'_0(x)+\theta f'_1(x))\]
potrai dimostrare che se la matrice che hai scritto è definita positiva allora la funzione \(G\) ha la derivata seconda ovunque positiva e quindi è convessa.
Scrivendo scrivendo mi rendo conto che c'è un dettaglio difficile: la matrice \(HF\) deve essere definita positiva *rispetto alla norma di \(H\times K\)*, ovvero, deve esistere una costante \(C>0\) tale che, per ogni \((f, f')\in H\times K\) e ogni \((h, h')\in H\times K\), deve essere vero che
\[
\begin{bmatrix} h & h' \end{bmatrix} HF(f, f') \begin{bmatrix} h \\ h'\end{bmatrix} \ge c (\|h\|_H^2+\|h'\|_K^2).\]
Questa mi sembra una condizione piuttosto difficile da verificare in pratica.[/ot]
Ti ringrazio,
fortunatamente l'hessiana di mio interesse è hermitiana. Quindi dovrei riuscire a dedurne il segno semplicemente analizzandone lo spettro.
fortunatamente l'hessiana di mio interesse è hermitiana. Quindi dovrei riuscire a dedurne il segno semplicemente analizzandone lo spettro.
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