Hessiano nullo, funzione 3 variabili
Salve a tutti. Vorrei chiedervi se riuscite a darmi una mano nella ricerca di massimi e minimi in funzioni di 3 variabili nel caso di Hessiano nullo. Ho letto un sacco di spiegazioni e metodi ma non ne ho capita una. Qualcuno può spiegarmi un metodo semplice ? Vi posto l'esercizio che ho risolto:
Io ho trovato due punti critici che sono $ P_1(0,0,0) $ e $ P_2(-3/4,3/2,3/4) $
Nel punto $ P_2 $ mi viene un punto di sella. Nel punto $ P_1 $ invece mi viene Hessiano nullo e non so come procedere.
Qualcuno sa aiutarmi?
Io ho trovato due punti critici che sono $ P_1(0,0,0) $ e $ P_2(-3/4,3/2,3/4) $
Nel punto $ P_2 $ mi viene un punto di sella. Nel punto $ P_1 $ invece mi viene Hessiano nullo e non so come procedere.
Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
Che te ne fai dell'hessiano? Devi studiare gli autovalori della matrice hessiana, non il suo determinante
Quindi come si farebbe l'esercizio? Io ho sempre usato la matrice Hessiana e finchè non è nulla tutto torna. Riesci a darmi una mano?
Il metodo della matrice hessiana non ha a niente a che vedere con il determinante, ha a che vedere solo con gli autovalori della matrice hessiana.
Il teorema, in parole povere, dice che: sia $f:RR^n->RR$ un campo scalare di classe $C^2$, sia $P_0$ un punto di $RR^n$ tale che $gradf(P_0)=0$, allora:
Se la matrice hessiana di $f$ calcolata in $P_0$ ha tutti gli autovalori positivi allora $P_0$ è un punto di minimo relativo.
Se la matrice hessiana di f calcolata in $P_0$ ha tutti gli autovalori negativi allora P_0 è un punto di massimo relativo
Se la matrice hessiana ha sia autovalori positivi sia negativi allora P_0 è un punti di sella.
In tutti gli altri casi non si può dire niente sulla natura di $P_0$
Tu parli di determinante perché sei abituato con le funzione in due variabili, infatti se la funzione è in 2 variabili, il determinante della matrice hessiana non è altro che il prodotto degli autovalori, quindi se il determinante è positivo significa che gli autovalori hanno lo stesso segno, se il determinante è negativo allora gli autovalori hanno segno opposto, e se è nullo significa che almeno uno degli autovalori è nullo, quindi non si può dire nulla della natura del punto considerato. Ma ripeto, il metodo del determinante vale solo per funzioni in due variabili. L'esercizio posto da te è in 3 variabili quindi devi trovarti gli autovalori della matrice hessiana.
Il teorema, in parole povere, dice che: sia $f:RR^n->RR$ un campo scalare di classe $C^2$, sia $P_0$ un punto di $RR^n$ tale che $gradf(P_0)=0$, allora:
Se la matrice hessiana di $f$ calcolata in $P_0$ ha tutti gli autovalori positivi allora $P_0$ è un punto di minimo relativo.
Se la matrice hessiana di f calcolata in $P_0$ ha tutti gli autovalori negativi allora P_0 è un punto di massimo relativo
Se la matrice hessiana ha sia autovalori positivi sia negativi allora P_0 è un punti di sella.
In tutti gli altri casi non si può dire niente sulla natura di $P_0$
Tu parli di determinante perché sei abituato con le funzione in due variabili, infatti se la funzione è in 2 variabili, il determinante della matrice hessiana non è altro che il prodotto degli autovalori, quindi se il determinante è positivo significa che gli autovalori hanno lo stesso segno, se il determinante è negativo allora gli autovalori hanno segno opposto, e se è nullo significa che almeno uno degli autovalori è nullo, quindi non si può dire nulla della natura del punto considerato. Ma ripeto, il metodo del determinante vale solo per funzioni in due variabili. L'esercizio posto da te è in 3 variabili quindi devi trovarti gli autovalori della matrice hessiana.
Il nostro professore invece ci ha spiegato un metodo differente. Lo scrivo qui:
Data una matrice $ ( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
-Se $ a_11>0 $ e $ det ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) >0 $ e $ det( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) >0$ allora avremo un minimo nel punto considerato.
-Se $ a_11<0 $ e $ det ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) >0 $ e $ det( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) <0$ allora avremo un massimo nel punto considerato.
-In tutti gli altri casi escluso quello con Hessiana nulla, avremo una sella.
A cosa serve questo schemino?
Data una matrice $ ( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) $
-Se $ a_11>0 $ e $ det ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) >0 $ e $ det( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) >0$ allora avremo un minimo nel punto considerato.
-Se $ a_11<0 $ e $ det ( ( a_11 , a_12 ),( a_21 , a_22 ) ) >0 $ e $ det( ( a_11 , a_12 , a_13 ),( a_21 , a_22 , a_23 ),( a_31 , a_32 , a_33 ) ) <0$ allora avremo un massimo nel punto considerato.
-In tutti gli altri casi escluso quello con Hessiana nulla, avremo una sella.
A cosa serve questo schemino?
Quello schemino serve principalmente per evitare di dover trovare gli autovalori, dato che per trovare gli autovalori bisogna risolvere una equazione polinomiale, in questo caso una equazione di terzo grado, che non si risolve molto facilmente.
Come ti ho detto gli autovalori si trovano risolvendo una equazione polinomiale, ma a noi non interessano gli autovalori in sé ma solo il loro segno, si può dimostrare che i coefficienti di una una equazione polinomiale sono collegate con i valori delle soluzioni dell'equazione in qualche modo (ma la faccenda si fa lunga) quindi studiando il segno di questi coefficienti si può indirettamente risalire al segno delle soluzioni dell'equazione (cioè gli autovalori). Il metodo dato dal tuo professore in pratica studia il segno di alcuni termini (che sono i coefficienti dell'equazione per trovare gli autovalori) e riesce a risalire al segno degli autovalori senza dover esplicitamente calcolare gli autovalori...una dimostrazione per bene del perché di quella formula può essere lunga quindi prendila per buona, ma ricordati che tutto ha a che fare con gli autovalori della matrice hessiana e che questi altri metodi sono metodi che permettono di trovare il segno degli autovalori senza doverli calcolare esplicitamente, ma ciò che conta sono appunto gli autovalori.
Come ti ho detto gli autovalori si trovano risolvendo una equazione polinomiale, ma a noi non interessano gli autovalori in sé ma solo il loro segno, si può dimostrare che i coefficienti di una una equazione polinomiale sono collegate con i valori delle soluzioni dell'equazione in qualche modo (ma la faccenda si fa lunga) quindi studiando il segno di questi coefficienti si può indirettamente risalire al segno delle soluzioni dell'equazione (cioè gli autovalori). Il metodo dato dal tuo professore in pratica studia il segno di alcuni termini (che sono i coefficienti dell'equazione per trovare gli autovalori) e riesce a risalire al segno degli autovalori senza dover esplicitamente calcolare gli autovalori...una dimostrazione per bene del perché di quella formula può essere lunga quindi prendila per buona, ma ricordati che tutto ha a che fare con gli autovalori della matrice hessiana e che questi altri metodi sono metodi che permettono di trovare il segno degli autovalori senza doverli calcolare esplicitamente, ma ciò che conta sono appunto gli autovalori.
Intanto ti ringrazio molto per il chiarimento ma continuo a non capire cosa devo fare se con lo schemino ho un determinante nullo e quindi non posso trarre conclusioni? Calcolare gli autovalori? O ci sono altri metodi ? Perchè gli autovalori non li ha mai spiegati quindi mi sembra strano ma se mi dici che sia l'unico modo allora farò così.
Se hai il determinante nullo allora non si può trarre nessuna conclusione sulla natura del punto (si può dimostrare che il determinante di una matrice è uguale al prodotto degli autovalori, quindi se il determinante è nullo significa che c'è almeno un autovalore nullo, quindi ritornando alla regola detta da me si ha appunto che non si può dire nulla sulla natura del punto). Quindi se trovi determinante nullo allora c'è poco da fare, non esistono altri metodi specifici che permettano di determinare se è minimo o massimo.
Si esistono metodi, ma non sono standard e validi ovunque come il metodo dell'hessiano, ne esistono tanti che possono essere semplici o complicati e che io non conosco.
Il metodo dell'hessiano è standard e va fatto sempre. Se poi ti risulta un hessiano nullo ci sono vari metodi per andare avanti che era poi la mia domanda iniziale. Quindi purtroppo non ho risolto il problema perchè non so come classificare i punti ad hessiano nullo e non posso lasciarli perdere come dici te. In ogni caso grazie lo stesso.
Se qualcun altro riesce a darmi una mano sarebbe fantastico
Se qualcun altro riesce a darmi una mano sarebbe fantastico
Se come dici hai letto di metodi in caso di hessiano nullo ma non li hai capiti allora postane qualcuno e chiedi spiegazioni a riguardo
Comunque se il vostro professore non vi ha spiegato dei metodi da utilizzare in caso di hessiano nullo allora mi sembra inutile complicarsi tanto la vita, di solito i casi in cui l'hessiano è nullo non sono casi di particolare interesse
volevo capire il metodo del segno ma in questo caso mi sembra impossibile studiare una disequazione di questo tipo:
$ xy^2+3yz-4z^3-3xz>=0 $
$ xy^2+3yz-4z^3-3xz>=0 $
Basta considerare la funzione sull'asse $z$ per capire che l'origine è un punto di sella.
"anonymous_0b37e9":
Basta considerare la funzione sull'asse $z$ per capire che l'origine è un punto di sella.
Riesci a spiegarmelo? Perchè detto così non ho capito molto
Poiché $[f(0,0,0)=0]$ e:
$\{(x=0),(y=0):} rarr f(0,0,z)=-4z^3$
esiste un intorno dell'origine dove la funzione assume valori discordi. Insomma, è evidente che l'origine non possa essere un minimo o un massimo.
$\{(x=0),(y=0):} rarr f(0,0,z)=-4z^3$
esiste un intorno dell'origine dove la funzione assume valori discordi. Insomma, è evidente che l'origine non possa essere un minimo o un massimo.
Ottimo, grazie mille!
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