Hessiano nullo, che si deve fare?
Ciao!
Svolgendo esercizi sullo studio di max e min mi sono imbattuto non poco spesso in funzione di classe C2 che avevano il determinante della matrice hessiana uguale a zero.
Tutti trattano i casi maggiore e minore di zero, ma quasi nessun libro tratta bene l'argomento con il determinante nullo.
Che devo fare? Ho sentito da qualche parte che si trovano gli autovalori ,ma nn ho capito a che scopo... oppure il metodo con le rette mi pare, ma non ho capito gran chè dato che non ho esempi sottomano...
Qualcuno mi aiuta, please ?
Grazie!
Svolgendo esercizi sullo studio di max e min mi sono imbattuto non poco spesso in funzione di classe C2 che avevano il determinante della matrice hessiana uguale a zero.
Tutti trattano i casi maggiore e minore di zero, ma quasi nessun libro tratta bene l'argomento con il determinante nullo.
Che devo fare? Ho sentito da qualche parte che si trovano gli autovalori ,ma nn ho capito a che scopo... oppure il metodo con le rette mi pare, ma non ho capito gran chè dato che non ho esempi sottomano...
Qualcuno mi aiuta, please ?
Grazie!
Risposte
Si studia a mano il segno della funzione:
g(x,y) = f(x0+x,y0+y) - f(x0,y0)
In un intorno di (x0,y0)
Se e' sempre negativa vuol dire che hai un massimo.
Se e' sempre positiva vuol dire che hai un minimo.
Altrimenti e' un colle.
Un metodo alternativo, nel caso delle selle "evidenti" consiste nel trovare due restrizioni diverse della funzione t.c. su una la ristretta ammette massimo nel punto stazionario e sull'altra ammette minimo in corrispondenza del punto in questione.
In altre parole si puo' cercare una coppia di curve passanti per (x0,y0) sulle quali la funzione ammette restrizioni: f1= f(s_1) e f2=(s_2) (dove s e' la parametrizzazione dell'insieme su cui si restringe la funzione):
f1 ha un massimo in p dove s_1(p)=(x0,y0)
f2 ha un minimo in q dove s_2(q)=(x0,y0)
g(x,y) = f(x0+x,y0+y) - f(x0,y0)
In un intorno di (x0,y0)
Se e' sempre negativa vuol dire che hai un massimo.
Se e' sempre positiva vuol dire che hai un minimo.
Altrimenti e' un colle.
Un metodo alternativo, nel caso delle selle "evidenti" consiste nel trovare due restrizioni diverse della funzione t.c. su una la ristretta ammette massimo nel punto stazionario e sull'altra ammette minimo in corrispondenza del punto in questione.
In altre parole si puo' cercare una coppia di curve passanti per (x0,y0) sulle quali la funzione ammette restrizioni: f1= f(s_1) e f2=(s_2) (dove s e' la parametrizzazione dell'insieme su cui si restringe la funzione):
f1 ha un massimo in p dove s_1(p)=(x0,y0)
f2 ha un minimo in q dove s_2(q)=(x0,y0)
dove con x_0 ed y_0 sostituisco le coordinate in cui si annulla in gradiente vero ?
Si.
Aggiungo anche una piccola correzione-precisazione sul criterio del "segno dell'incremento".
Per avere un massimo o un minimo devi avere un intorno di (x_0,y_0) in cui il segno e' costante.
Per il colle il segno deve cambiare in OGNI intorno del punto.
Aggiungo anche una piccola correzione-precisazione sul criterio del "segno dell'incremento".
Per avere un massimo o un minimo devi avere un intorno di (x_0,y_0) in cui il segno e' costante.
Per il colle il segno deve cambiare in OGNI intorno del punto.
mm ok!
grazie per l'aiuto e per la precisazione!
grazie per l'aiuto e per la precisazione!
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