Hessiano nullo
Salve a tutti, ho da classificare i punti critici di questa funzione:
\(\displaystyle f(x,y)= x+log(x^2+y^2+1) \)
Calcolando le derivate parziali ho trovato un unico punto critico:
\(\displaystyle (-1,0) \)
Per tale punto ho però l'hessiano nullo.
Ho pensato di procedere con il metodo del segno, poichè non si annulla in quel punto, ho costruito un'altra funzione:
\(\displaystyle f(x,y)-f(-1,0) \)
Quindi la mia nuova funzione è:
\(\displaystyle x+log(x^2+y^2+1)-log(2)+1 \)
A questo punto dovrei studiarne il segno... ma ho difficoltà con la disequazione...potreste aiutarmi per favore? Grazie.
\(\displaystyle f(x,y)= x+log(x^2+y^2+1) \)
Calcolando le derivate parziali ho trovato un unico punto critico:
\(\displaystyle (-1,0) \)
Per tale punto ho però l'hessiano nullo.
Ho pensato di procedere con il metodo del segno, poichè non si annulla in quel punto, ho costruito un'altra funzione:
\(\displaystyle f(x,y)-f(-1,0) \)
Quindi la mia nuova funzione è:
\(\displaystyle x+log(x^2+y^2+1)-log(2)+1 \)
A questo punto dovrei studiarne il segno... ma ho difficoltà con la disequazione...potreste aiutarmi per favore? Grazie.
Risposte
consideriamo la restrizione $g(x)$ della funzione così definita
$g(x)=x+ln(x^2+1); x in I= (-1-delta,-1+delta);delta >0$
$g'(x)=(x+1)^2/(x^2+1) $
$g'(x)geq0$ in $I$
quindi $x=-1$ è un punto di flesso a tangente orizzontale per $g(x)$
ciò è sufficiente per dire che $(-1,0)$ è un punto di sella per $f(x,y)$
$g(x)=x+ln(x^2+1); x in I= (-1-delta,-1+delta);delta >0$
$g'(x)=(x+1)^2/(x^2+1) $
$g'(x)geq0$ in $I$
quindi $x=-1$ è un punto di flesso a tangente orizzontale per $g(x)$
ciò è sufficiente per dire che $(-1,0)$ è un punto di sella per $f(x,y)$
Grazie! Quindi in questo caso è sconsigliabile utilizzare il metodo del segno?
Inoltre ho provato a svolgere il secondo punto dell'esercizio in questione, ovvero trovare gli estremi assoluti restringendo la funzione al quadrato \(\displaystyle [-1,1]\times[-1,1] \).
Ma non riesco a capire da dove partire...
Inoltre ho provato a svolgere il secondo punto dell'esercizio in questione, ovvero trovare gli estremi assoluti restringendo la funzione al quadrato \(\displaystyle [-1,1]\times[-1,1] \).
Ma non riesco a capire da dove partire...
sì,in questo caso la tua disequazione mi sembra complicata
preciso però che la restrizione è efficace per dimostrare che il punto è un punto di sella : quindi ,in un certo senso,ho sperato che fosse di sella,e mi è andata bene
per quanto riguarda la seconda domanda ,la funzione non può assumere massimo o minimo all'interno del quadrato perchè altrimenti sarebbero anche massimo o minimo relativo ,ma abbiamo visto che non ce ne sono
quindi gli estremi assoluti si trovano sulla frontiera del quadrato : si tratta di nuova di considerare delle restrizioni, e precisamente quelle della funzione sui lati
preciso però che la restrizione è efficace per dimostrare che il punto è un punto di sella : quindi ,in un certo senso,ho sperato che fosse di sella,e mi è andata bene
per quanto riguarda la seconda domanda ,la funzione non può assumere massimo o minimo all'interno del quadrato perchè altrimenti sarebbero anche massimo o minimo relativo ,ma abbiamo visto che non ce ne sono
quindi gli estremi assoluti si trovano sulla frontiera del quadrato : si tratta di nuova di considerare delle restrizioni, e precisamente quelle della funzione sui lati
Fin ora ho pensato che:
se \(\displaystyle x=0 \) allora \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \)
se \(\displaystyle x=-1 \) allora \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \)
Quindi potrei considerare \(\displaystyle f(0,y) \) ed \(\displaystyle f(-1,y) \) ?
se \(\displaystyle x=0 \) allora \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \)
se \(\displaystyle x=-1 \) allora \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \)
Quindi potrei considerare \(\displaystyle f(0,y) \) ed \(\displaystyle f(-1,y) \) ?
Dunque, ho considerato:
\(\displaystyle f(0,y) \) ne ho calcolato la derivata e ho visto che è positiva per \(\displaystyle y \geq 0 \) , quindi sempre positiva nel dominio considerato: \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \) .
\(\displaystyle f(x,0) \) e la derivata è positiva per ogni x.
\(\displaystyle f(-1,y) \) e la derivata è sempre positiva nel dominio considerato.
A questo punto sto considerando \(\displaystyle f(x,1)=x+ln(x^2+2) \) la cui derivata è uguale a \(\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x^2+2} \) , ma qui mi entrano in gioco i numeri complessi...
In ogni caso, il procedimento è corretto? Teoricamente non ho punti di minimo o di massimo, o sbaglio?
\(\displaystyle f(0,y) \) ne ho calcolato la derivata e ho visto che è positiva per \(\displaystyle y \geq 0 \) , quindi sempre positiva nel dominio considerato: \(\displaystyle 0 \leq y \leq 1 \) .
\(\displaystyle f(x,0) \) e la derivata è positiva per ogni x.
\(\displaystyle f(-1,y) \) e la derivata è sempre positiva nel dominio considerato.
A questo punto sto considerando \(\displaystyle f(x,1)=x+ln(x^2+2) \) la cui derivata è uguale a \(\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x^2+2} \) , ma qui mi entrano in gioco i numeri complessi...
In ogni caso, il procedimento è corretto? Teoricamente non ho punti di minimo o di massimo, o sbaglio?
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