Hessiano nullo

[piergiorgiof1]

Non sono sicuro di aver ragionato nel modo giusto e, nel caso, più comodo. Devo trovare gli estremi relativi di:

$f(x,y)=y^2-3x^2y+2x^4$

Ho trovato come punto critico solo $(0,0)$

La matrice Hessiana è invece:

$H(x,y)=[[-6y+24x^2,-6x],[-6x,2]]$

E risulta quindi:

$H(0,0)=|[0,0],[0,2]|=0$

Essendo l'Hessiano nullo ho allora considerato:

$f(x,y)-f(0,0) >=0$

Ma $f(0,0)=0$

Dunque:

$f(x,y)-f(0,0) >=0 ->$

$y^2-3x^2y+2x^4>=0$

Analizzando la disequazione si può osservare che questa è maggiore di zero quando $y<=0$ essendo gli altri termini sempre positivi.
Dunque per $y<=0$
$f(x,y)>=f(0,0)$ cioè per definizione il punto $(0,0)$ è di minimo relativo. E' giusto?

[quantunquemente]

e per $yleq0$ ?
piuttosto io ragionerei in termini di coordinate polari
$z=rho^2(sen^2theta-3rhocos^2thetasentheta+2rho^2cos^4theta)$
1) $sentheta=0$
$z=2rho^4cos^4theta$
2)$sentheta ne 0$
per $rho rarr 0$ l'interno della parentesi tende a $sen^2theta$


l'origine è un punto di minimo relativo

[piergiorgiof1]

Grazie!