Hessiano nullo
Trovare i punti critici della seguente funzione:
$ f(x,y)= y^(2)-arctan(x^(2)+y^(2)) $, ho trovato un punto critico (0,0) e ho calcolato l'hessiano. Ho visto che quest'ultimo è nullo, ma non so come procede oltre, potete aiutarmi?.
Di quest'altra funzione:
$ f(x,y)= x^(2)+y^(2) $ , devo trovare i punti di massimo e minimo assoluto sotto il vincolo $ e^(x^(2))+e^(y^(2))-2e=0 $. Ho applicato il metedo dei moltiplicatori di langrange, e ho trovato 2 punti (1,1) e (-1,-1). Ma sia f(1,1) che f(-1,-1) sono uguali a 2, quindi non ci sono punti di max e min>?
$ f(x,y)= y^(2)-arctan(x^(2)+y^(2)) $, ho trovato un punto critico (0,0) e ho calcolato l'hessiano. Ho visto che quest'ultimo è nullo, ma non so come procede oltre, potete aiutarmi?.
Di quest'altra funzione:
$ f(x,y)= x^(2)+y^(2) $ , devo trovare i punti di massimo e minimo assoluto sotto il vincolo $ e^(x^(2))+e^(y^(2))-2e=0 $. Ho applicato il metedo dei moltiplicatori di langrange, e ho trovato 2 punti (1,1) e (-1,-1). Ma sia f(1,1) che f(-1,-1) sono uguali a 2, quindi non ci sono punti di max e min>?
Risposte
Per quanto riguarda il primo esercizio, ci sono due possibili strade da seguire:
- tecnica delle restrizioni: riesci a trovare due curve distinte $\gamma_{\alpha}$ e $\gamma_{\beta}$, ad esempio gli assi, tali che $f(\gamma_{\alpha})$ e $f(\gamma_{\beta})$ presentino nel punto che tu stai studiando, in questo caso l'origine, un massimo e un minimo rispettivamente.
-studi la disequazione $f(x,y)-f(0,0)>0$ e verifichi se esiste un intorno $U(0,0)$ in cui è sempre vera o sempre falsa.
In tal caso la funzione a due variabili ha un massimo o un minimo locale nell'origine, in caso contrario siamo in presenza di una sella.
Concretamente, suggerirei di provare il secondo metodo. Studia $f(x,y)-f(0,0)>0$ e poi posta i risultati!
- tecnica delle restrizioni: riesci a trovare due curve distinte $\gamma_{\alpha}$ e $\gamma_{\beta}$, ad esempio gli assi, tali che $f(\gamma_{\alpha})$ e $f(\gamma_{\beta})$ presentino nel punto che tu stai studiando, in questo caso l'origine, un massimo e un minimo rispettivamente.
-studi la disequazione $f(x,y)-f(0,0)>0$ e verifichi se esiste un intorno $U(0,0)$ in cui è sempre vera o sempre falsa.
In tal caso la funzione a due variabili ha un massimo o un minimo locale nell'origine, in caso contrario siamo in presenza di una sella.
Concretamente, suggerirei di provare il secondo metodo. Studia $f(x,y)-f(0,0)>0$ e poi posta i risultati!
Per il secondo esercizio:
credo che tu abbia dimenticato qualcosa nei conti, perché a me vengono anche altri punti stazionari (vincolati). Inoltre, osserva che massimo e minimo esistono perché la funzione è continua e il vincolo è compatto.
credo che tu abbia dimenticato qualcosa nei conti, perché a me vengono anche altri punti stazionari (vincolati). Inoltre, osserva che massimo e minimo esistono perché la funzione è continua e il vincolo è compatto.
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